第2章 §2.6 指数与指数函数

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考试要求

理解有理数指数幂含义，了解实数指数幂意义，掌握运算性质。

了解指数函数实际意义，会画图象。

理解指数函数单调性、特殊点等性质并简单应用。

知识梳理

根式：若，且，则是的次方根，是根式，，（为偶数），（为奇数）。

分数指数幂：（，，），（，，），正分数指数幂为，负分数指数幂无意义。

指数幂运算性质：，，（，，）。

指数函数及其性质

概念：（且），是自变量，定义域。

图象与性质：当时，在上增，过，时，时；当时，在上减，过，时，时。

常用结论

指数函数图象关键点，，。

第一象限内，指数函数图象越高，底数越大。

思考辨析：对一些关于指数幂和指数函数的结论进行正误判断，如，等。

题型分类

指数幂运算：包括根式与分数指数幂的化简、计算，如，若，求等。

指数函数的图象及应用

由等式判断与的关系，可能或或。

函数有两个零点时，。

指数函数的性质及应用

比较指数式大小：如，由可得，进而。

解指数方程或不等式：的值域为时，；时，有解，则。

指数函数性质综合应用：在上单调递增，则。

练习题

基础保分练：包括比较大小、根据函数图象确定参数范围、求函数在区间上最值时参数的值等题目。

技能提升练：如根据指数函数单调性比较式子大小，直线与指数函数图象交点问题确定参数取值等。

拓展冲刺练：涉及 “倒戈函数” 求参数范围，以及根据函数性质求特定值等。