逻辑函数运算基础

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基本公式

①:交换律   A+B=B+A

②:结合律   (A + B) + C = A + (B + C)

③:分配律   A(B + C)=AB + AC

④:重合律:   A + A +…+ A = A      |     A…A = A

⑤:互补律:   A+Ā= 1      |      AĀ = 0

⑥:还原律   

⑦:摩根定律:      

常用公式

①:吸收率   A + AB=A

（ 证：A(1＋B）＝A ）

②:消因子公式   A + ĀB=A+B

（ 证：A(B + 1) + (ĀB)=  A + B ) 

③并项公式   ĀB + ĀB = B

（ 证：B(A + Ā) = B )

④消项公式   AB + ĀC + BC = AB + ĀC    (这里的BC被称作冗余项) 

（ 证：AB + AC +(A + Ā)BC =AB + AC + ĀBC + ABC = AB(1 + C)+ĀC(B + 1) =AB + ĀC )

卡诺图:

        在逻辑函数的运算中卡诺图是一个很好的辅助工具，它便于理解，在化简(最简与或式/最简或与式)时可以大大降低化简的难度。

一.最小项

真值表:

			AND

逻辑函数:

        如上图所示，图中的AND表示最小项，左侧(A , B)表示输入，O表示输出，上图有两个变量因此有个最小与非式，同理三个变量时为个。

        我们知道了最小与非式后，就可以画出卡诺图(表示AB不同取值为1的逻辑函数)。

A\B	0	1
0
1

        由于变量数量多时写逻辑函数表达式不易阅读，因此表示

AB\CD	00	01	11	10
00
01
11
10

       不难发现卡诺图中元素的存放顺序是按格雷码（循环码）排列的，行列参数拼起来后二进制的值就是对应的下标a。(如：0111位置用表示)

二.最大项

真值表:

			OR

逻辑函数:

A\B	0	1
0
1

        最小或非式与最小与非式相似，不同的是图中的OR表示最大项（它与最小项呈互补关系，即取反后相等）

三.卡诺图化简

        假设我们有一个逻辑函数,怎么把它通过卡诺图化简成最简与或式呢？

①把逻辑函数化简为最小项之和:

②画出卡诺图，在对应位置上标上1:

③将相邻的1以最简的形式(项数最少)圈出来，将其合并为一项

注：卡诺图不是一个平面而是一个曲面，最左边一列和最右边一列是相连的，上下同理

1):

例1:

例2:

④得出逻辑函数为