【线性代数笔记】秩为1的矩阵的性质

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定理1 矩阵$A_{n\times m}$的秩为$1$$⟺$$A=\alpha {\beta }^T$，其中$\alpha ,\beta$分别为$n,m$维非零列向量。

证明：
必要性：由等价标准型定理知存在可逆矩阵$P,Q$使得$A=P\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]Q$，其中$\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}{\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}$。
令$\alpha =P{\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}$，${\beta }^T={\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}Q$，则$A=\left(P{\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}\right)\left({\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}Q\right)=\alpha {\beta }^T$。
充分性：设$A=\alpha {\beta }^T$，则由“矩阵越乘秩越小”知 r ( A ) ≤ min ⁡ { r ( α ) , r ( β ) } = 1 r(A)\le \min\{r(\alpha), r(\beta)\}=1 r(A)≤min{
r(α),r(β)}=1。又$\alpha ,\beta$非零，故$A\ne O$，因此$r(A)>0$，$r(A)=1$。

定理2 矩阵$A_{n\times n}=\alpha {\beta }^T$（$\alpha ,\beta \ne 0$），则：
(1) $\exists$常数$k$使得$A^2=kA$；
(2) $A$的特征值为${\beta }^T\alpha ,0,0,\dots ,0$；
(3) 当且仅当${\beta }^T\alpha \ne 0$时$A$可以对角化。

证明：
(1) $A^2=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T=\alpha ({\beta }^T\alpha ){\beta }^T$，而${\beta }^T\alpha$是数，故可以提出来：$A^2=({\beta }^T\alpha )\alpha {\beta }^T=({\beta }^T\alpha )A$，令$k={\beta }^T\alpha$即得$A^2=kA$。
(2) 由$r(A)=1$知方程$Ax=0$有$n-1$个线性无关的特解，故$0$为$A$的特征值，其几何重数为$n-1$；又由代数重数大于等于几何重数知$0$的代数重数至少为$n-1$。同时，$A\alpha =\alpha {\beta }^T\alpha =\alpha ({\beta }^T\alpha )=({\beta }^T\alpha )\alpha$，因此${\beta }^T\alpha$是$A$的一个特征值，$\alpha$为对应的特征向量。所以$A$的特征值为${\beta }^T\alpha ,0,0,\dots ,0$（共$n-1$个$0$）。
这个结论也表明：$\text{tr}(A)={\beta }^T\alpha$。
(3) 当且仅当${\beta }^T\alpha \ne 0$时，特征值$0$的代数重数等于几何重数$(n-1)$，此时$A$可对角化。换言之，$A$不可对角化当且仅当向量$\alpha$，$\beta$正交。