收敛级数判断

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1. 比较法（Comparison Test）

使用条件：一个已知的收敛或发散的级数。

• 直接比较法（Direct Comparison Test）：两个正项级数 ∑an ， ∑bn​ 。
  • 如果 an ≤ bn 且 ∑bn​ 收敛，则 ∑an 收敛。
  • 如果 an ≥ bn 且 ∑bn​ 发散，则 ∑an 发散。
• 极限比较法（Limit Comparison Test）：两个正项级数 ∑an 和 ∑bn​，且      C是正的有限常数。
  • 如果∑bn​ 收敛，则 ∑an 收敛。
  • 如果∑bn​ 发散，则 ∑an 发散。

2. 比例法（Ratio Test）

通常适用于 n！的级数判断。

 正项级数 ∑an​，定义：

• 如果 L < 1，那么级数 ∑an​ 收敛。
• 如果 L > 1，那么级数 ∑an​ 发散。
• 如果 L = 1，需要使用其他方法判断。
• 注意的是，在an无法判断是否为正项级数时，使用如下判断： 
  • 此时如果 L < 1，那么级数 ∑an​ 绝对收敛，其余不变。

3. 根值法（Root Test）

通常适用于 含n次方 的级数判断。

一个级数 ∑an，定义：

• 如果 L < 1，那么级数 ∑an 绝对收敛。
• 如果 L > 1 或者 L=∞，那么级数 ∑an​ 发散。
• 如果 L = 1，需要使用其他方法判断。

4. 积分法（Integral Test）

假设 f(x) 是一个正的、连续的、单调递减的函数，并且 an=f(n)。

那么级数 ∑an​ 与 积分

收敛性相同。

• 如果 积分 收敛，那么级数 ∑an 也收敛。
• 如果 积分 发散，那么级数 ∑an 也发散。

5. 交错级数（Alternating Series Test）

一个交错级数

其中 an 为正且单调递减，

并且

那么级数收敛。

提一嘴：

• 级数 ∑an 收敛，指 部分和数列的极限 存在， lim (n→∞) Sn = s 存在 。 此时，一定有 lim (n→∞) an =0（级数收敛的必要条件）。

6. p-级数法（p-Series Test）

p-级数测试适用于形如：

​ 的级数。

• 如果 p > 1，那么 级数 收敛。
• 如果 p ≤ 1，那么 级数 发散。
  • （我喜欢把n分之一成为“临界点”。）

7.莱布尼茨判断 （Leibniz’s Test）

适用条件：交错级数。

对于一个交错级数，如果满足以下两个条件，则级数收敛：

1.单调递减：

an​ 是单调递减的，即对于所有的 n，有

2.趋于零：

an​ 的极限是零，即

PS：奇级数收敛，偶级数收敛，则级数收敛。