高中知识——柯西不等式

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柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个非常基本且重要的不等式，它有多种表述方式，但最常见的是向量形式和数列形式。这里我们再次回顾一下这两种形式及其证明思路。

向量形式

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 是两个 $n$ 维实向量，则柯西不等式可以表述为：

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le \Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert$$

其中，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的点积，即 $a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$；$\Vert \mathbf{a}\Vert$ 和 $\Vert \mathbf{b}\Vert$ 分别是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长，即 $\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$ 和 $\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2}$。

证明思路：

1. 构造一个新的向量 $\mathbf{c}=\mathbf{b}-\frac{\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}\mathbf{a}$。
2. 利用向量的模长非负性，即 $\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2\ge 0$。
3. 展开 $\Vert \mathbf{c}{\Vert }^2$ 并化简，最终得到柯西不等式的形式。

数列形式

设 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 是两组实数，则柯西不等式可以表述为：

$$(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2$$

证明思路（基于向量形式）：

1. 将数列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 分别视为 $n$ 维向量 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 的坐标。
2. 应用向量形式的柯西不等式 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le \Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert$。
3. 平方两边并去掉绝对值符号（因为平方后总是非负的），得到数列形式的柯西不等式。

注意：在数列形式中，当且仅当存在实数 $k$ 使得 $a_i=k{b}_i$（对所有 $i$）时，不等式取等号。这个条件在向量形式中对应的是两个向量共线。