大家好，欢迎来到IT知识分享网。
习题自测
根轨迹基本概念
判断题
1.根轨迹是特征方程 1 + K G ( s ) = 0 1+\mathrm{KG}(s)=0 1+KG(s)=0 的根，随着 K \mathrm{K} K 从 0 变化到 + ∞ +\infty +∞ 时的运动轨迹。
2.根轨迹的条数是系统的极点个数。
3.根轨迹取决于特征方程给出的幅值条件。
4.根轨迹上的一点s，是增益K取得幅值条件决定的匹配值时的极点。
5.我们能够从根轨迹中读出控制系统性能的诸多信息。
√√×√√
根轨迹的绘制方法
判断题
计算题
第一步，确定起始点和终止点。
起点 : 0,-1,-2 ;
终点 : ∞ , ∞ , ∞ : \infty, \infty, \infty :∞,∞,∞
第二步，确定实轴上的根轨迹段。
( − 10 ) , ( − ∞ − 2 ) (-10),(-\infty-2) (−10),(−∞−2)
第三步，确定分离点或会合点。
系统的开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K s ( s + 1 ) ( s + 2 ) P ( s ) = 1 , Q ( s ) = s ( s + 1 ) ( s + 2 ) d K d s = − P ( s ) Q ′ ( s ) − P ′ ( s ) Q ( s ) P 2 ( s ) = 3 s 2 + 6 s + 2 = 0 \begin{aligned} &G(s) H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)} \\ &P(s)=1, Q(s)=s(s+1)(s+2) \\ &\frac{d K}{d s}=-\frac{P(s) Q^{\prime}(s)-P^{\prime}(s) Q(s)}{P^{2}(s)}=3 s^{2}+6 s+2=0 \end{aligned} G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)KP(s)=1,Q(s)=s(s+1)(s+2)dsdK=−P2(s)P(s)Q′(s)−P′(s)Q(s)=3s2+6s+2=0
求得： s 1 = − 1.58 , s 2 = − 0.42 s_{1}=-1.58, \quad s_{2}=-0.42 s1=−1.58,s2=−0.42
代入特征方程: K = − Q ( s ) P ( s ) = − s ( s + 1 ) ( s + 2 ) K=-\frac{Q(s)}{P(s)}=-s(s+1)(s+2) K=−P(s)Q(s)=−s(s+1)(s+2)
s 1 \mathrm{s}_{1} s1 代 λ , K = − 0.384 < 0 , \lambda, K=-0.384<0, λ,K=−0.384<0, 故舍去 i i i
s 2 s_{2} s2 代 λ , K = 0.384 > 0 , \lambda, K=0.384>0, λ,K=0.384>0, 是分离点。
第四步，确定渐近线。
渐近线共有3条（n-m），渐近线的倾角：
ϕ A = ( 2 k + 1 ) 18 0 ∘ n − m , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − m − 1 \phi_{A}=\frac{(2 k+1) 180^{\circ}}{n-m}, k=0,1,2, \cdots, n-m-1 ϕA=n−m(2k+1)180∘,k=0,1,2,⋯,n−m−1
取 k = 0 , 1 , 2 , k=0,1,2, k=0,1,2, 得到：
ϕ A 1 = 6 0 ∘ ϕ A 2 = 18 0 ∘ ϕ A 3 = 30 0 ∘ \phi_{A 1}=60^{\circ} \quad \phi_{A 2}=180^{\circ} \quad \phi_{A 3}=300^{\circ} ϕA1=60∘ϕA2=180∘ϕA3=300∘
渐近线与实轴的交点 ( 渐进中心 ) :
σ A = − ( 0 + 1 + 2 ) + 0 3 − 0 = − 1 \sigma_{A}=-\frac{(0+1+2)+0}{3-0}=-1 σA=−3−0(0+1+2)+0=−1
第五步，确定根轨迹与虚轴交点。
特征方程：
s 3 + 3 s 2 + 2 s + K = 0 s^{3}+3 s^{2}+2 s+K=0 s3+3s2+2s+K=0
令 s = j ω \quad s=j \omega s=jω
− j ω 3 − 3 ω 2 + 2 j ω + K = 0 { ω 3 = 2 ω K = 3 ω 2 ⟶ { ω = ± 2 K = 6 \begin{array}{r} -j \omega^{3}-3 \omega^{2}+2 j \omega+K=0 \\ \left\{\begin{array}{l} \omega^{3}=2 \omega \\ K=3 \omega^{2} \end{array} \quad \longrightarrow\left\{\begin{array}{l} \omega=\pm \sqrt{2} \\ K=6 \end{array}\right.\right. \end{array} −jω3−3ω2+2jω+K=0{
ω3=2ωK=3ω2⟶{
ω=±2K=6
这个三阶系统可以被二阶系统代替，而且有可能失稳。
基于根轨迹的控制系统分析设计
判断题
根轨迹
根轨迹的基本概念
对于系统的动态参数变化，每变化一次增益，我们就要重新求解一次特征方程，非常地麻烦，非常地不爽，非常地不快乐，那么能不能避免这样的计算呢？可不可以不写特征方程也能对极点的变化有一个清晰的判断呢？根轨迹便是为解决这一问题而生的。为了不做老黄牛，在这一章里我们就要熟练掌握根轨迹图的绘制方法，并能利用根轨迹法设计控制器。
Ka=200、1500和13.5时，试分别确定闭环极点 并分析系统性能。
ϕ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) = 5 K A s 2 + 34.5 s + 5 K A K A = 200 , ∴ ϕ ( s ) = 1000 s 2 + 34.5 s + 1000 ∴ ω n 2 = 1000 , 2 ξ ⋅ ω n = 34.5 ∴ ω n = 31.6 , ξ = 34.5 2 ω n = 0.545 t p = π ω n 1 − ξ 2 = 0.12 t s ≈ 3 ξ ⋅ ω n = 0.174 σ % = e − π ξ / 1 − ξ 2 × 100 % = 13 % N = t s 2 π / ω d = t s ω n 1 − ξ 2 2 π = 0.72 闭 环 极 点 为 ： S 1 , 2 = − 17.25 ± j 26.5 \begin{aligned} &\phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{5 K_{A}}{s^{2}+34.5 s+5 K_{A}}\\ &K_{A}=200, \therefore \phi(s)=\frac{1000}{s^{2}+34.5 s+1000}\\ &\therefore \omega_{n}^{2}=1000,2 \xi \cdot \omega_{n}=34.5\\ &\therefore \omega_{n}=31.6, \xi=\frac{34.5}{2 \omega_{n}}=0.545\\ &t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}}=0.12\\ &t_{s} \approx \frac{3}{\xi \cdot \omega_{n}}=0.174\\ &\sigma \%=e^{-\pi \xi / \sqrt{1-\xi^{2}}} \times 100 \%=13 \%\\ &N=\frac{t_{s}}{2 \pi / \omega_{d}}=\frac{t_{s} \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}}{2 \pi}=0.72\\ &闭环极点为 ： \quad S_{1,2}=-17.25 \pm j 26.5 \end{aligned} ϕ(s)=1+G(s)G(s)=s2+34.5s+5KA5KAKA=200,∴ϕ(s)=s2+34.5s+10001000∴ωn2=1000,2ξ⋅ωn=34.5∴ωn=31.6,ξ=2ωn34.5=0.545tp=ωn1−ξ2π=0.12ts≈ξ⋅ωn3=0.174σ%=e−πξ/1−ξ2×100%=13%N=2π/ωdts=2πtsωn1−ξ2=0.72闭环极点为：S1,2=−17.25±j26.5
考察 K A = 1500 K_{A}=1500 KA=1500
ω n = 86.2 ; ξ = 0.2 \omega_{n}=86.2 ; \xi=0.2 ωn=86.2;ξ=0.2
闭环极点为 ： S 1 , 2 = − 17.25 ± j 84.5 ： S_{1,2}=-17.25 \pm j 84.5 ：S1,2=−17.25±j84.5
调大 K A K_{A} KA 后，极点位置垂直变化, ξ \xi ξ 变小 , ω n , \omega_{n} ,ωn 变大 ; t p ; t_{p} ;tp 变小 , σ % , \sigma \% ,σ% 变大 ; ; ; 而 t s t_{s} ts 保持不变。
考察 K A = 13.5 K_{A}=13.5 KA=13.5
ω n = 8.22 , ξ = 2.1 \omega_{n}=8.22, \xi=2.1 ωn=8.22,ξ=2.1
此时系统变成了过阻尼，过渡过程调节时间由较大的时间常数决定。（1/T1与1/T2仅中间符号不同）
1 T 1 = w n ( ξ − ξ 2 − 1 ) t s ≈ 3 T 1 = 1.46 \begin{array}{l} \frac{1}{T_{1}}=w_{n}\left(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}\right) \\ t_{s} \approx 3 T_{1}=1.46 \end{array} T11=wn(ξ−ξ2−1)ts≈3T1=1.46
闭环极点为 ： S 1 = − 32.44 S 2 = − 2.08 ： \quad S_{1}=-32.44 \quad S_{2}=-2.08 ：S1=−32.44S2=−2.08
1、调参数可以改变极点位置，进而改变系统性能。
2、兼顾稳、快、准，如何调参数 ?
比例控制是最典型的控制结构
上述案例考察了调节K时，极点位置、系统性能的变化，能否简便地获知K变化时，极点位置以及系统性能变化的全貌 ?
美国工程师W.R. Evans在1948年发表了《控制系统的图解分析》。
根轨迹 : 开环系统某一参数从 0 变到正无穷时，闭环系统的极点在s平面上变化的轨迹。
考察 K K K 从零到无穷大变化时，极点的变化情况
s 1 , 2 = − 0.5 ± 0.5 1 − 4 K \mathrm{s}_{1,2}=-0.5 \pm 0.5 \sqrt{1-4 K} s1,2=−0.5±0.51−4K
1 , K = 0 \mathbf{1}, \boldsymbol{K}=\mathbf{0} 1,K=0 时 , s 1 = 0 , s 2 = − 1 , \quad \mathrm{s}_{1}=0, \mathrm{~s}_{2}=-1 ,s1=0, s2=−1
2、0 < K < 0.25 <K<0.25 <K<0.25 时，两个互异负实根 s 1 , 2 = − 0.5 ± 0.5 1 − 4 K \mathrm{s}_{1,2}=-0.5 \pm 0.5 \sqrt{1-4 K} s1,2=−0.5±0.51−4K
3、K=0.25 时 , s 1 , 2 = − 0.5 , \quad \mathrm{s}_{1,2}=-0.5 ,s1,2=−0.5
4、0.25 < K < ∞ <K<\infty <K<∞ 时 , s 1 , 2 = − 0.5 ± 0.5 j 4 K − 1 , \mathrm{s}_{1,2}=-0.5 \pm 0.5 j \sqrt{4 K-1} ,s1,2=−0.5±0.5j4K−1
根轨迹图 , 以系统根轨迹增益K为参变量 , 当K 由 0 → ∞ 0 \rightarrow \infty 0→∞ 时 , , , 系统闭环极点在 s s s 平面上变化的轨迹。
画图首先要会读图，已知极点变化全貌，如何解读性能 ?
四条根轨迹显然是四阶系统，K在实半轴越小越稳定，但是会有正实部的出现，无法保持一直稳定，最左边一条根轨迹在K逐渐增大的过程中越来越远离虚轴，时间常数越来越小，所以可以忽略，整个系统就可以简化为一个三阶系统。
根轨迹方程和约束条件
S平面上的点s在根轨迹上，必须满足闭环特征方程：
1 + G ( s ) H ( s ) = 0 1+G(s) H(s)=0 1+G(s)H(s)=0
相角条件决定了整条根轨迹，即那些点是极点。（由复变函数，复数的指数形式得到）
幅值条件决定了极点 s 的匹配增益值。
K ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 1.5 ) ( s − 0.5 ) = − 1 \frac{K(s+1)}{(s+2)(s+1.5)(s-0.5)}=-1 (s+2)(s+1.5)(s−0.5)K(s+1)=−1
s 1 = − 0.825 \mathbf{s}_{1}=-\mathbf{0 . 8 2 5} s1=−0.825
根轨迹的绘制方法
根轨迹的分支数（开环极点个数）
N 阶系统有 N个闭环极点。根轨迹的分支数为系统阶数, 也等于开环极点的个数。
根轨迹的对称性
N 阶系统的 N个闭环极点, 要么是实根， 要么是共轭复根，因此，根轨迹关于实轴对称。
根轨迹的起点（开环极点）
1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) = 0 ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) = 0 \begin{aligned} &1+G(s) H(s)=1+\frac{K\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)}=0 \\ &\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)+K\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)=0 \end{aligned} 1+G(s)H(s)=1+(s−p1)(s−p2)…(s−pn)K(s−z1)(s−z2)…(s−zm)=0(s−p1)(s−p2)…(s−pn)+K(s−z1)(s−z2)…(s−zm)=0
K → 0 K \rightarrow 0 K→0
( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) = 0 \left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)=0 (s−p1)(s−p2)…(s−pn)=0
即开环特征方程要为0，根轨迹起始于开环极点。
根轨迹的终点（开环零点）
1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) = 0 ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) = 0 \begin{aligned} &1+G(s) H(s)=1+\frac{K\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)}=0\\ &\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)+K\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)=0 \end{aligned} 1+G(s)H(s)=1+(s−p1)(s−p2)…(s−pn)K(s−z1)(s−z2)…(s−zm)=0(s−p1)(s−p2)…(s−pn)+K(s−z1)(s−z2)…(s−zm)=0
K → ∞ K \rightarrow \infty K→∞
( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) = 0 \left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)=0 (s−z1)(s−z2)…(s−zm)=0
根轨迹终上于开环零点。（m个有限零点、n-m个无限零点，无限零点趋于无穷）
实轴上的根轨迹段(右边开环零极点奇数个)
分离点（会和点）
根轨迹在S平面上相遇 , 表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点/会合点与特征方程式的重根相对应。
根据根轨迹方程（算分离点会和点一定要先化成根轨迹形式） :
G ( s ) H ( s ) = K P ( s ) Q ( s ) = − 1 G ( s ) H ( s ) = K ∏ ( s + z i ) ∏ j = 1 n − 1 ( s + p j ) = K P ( s ) Q ( s ) 其中 P ( s ) = ∏ i = 1 m ( s + z j ) Q ( s ) = ∏ j = 1 n ( s + p j ) \begin{aligned} &G(s) H(s)=K \frac{P(s)}{Q(s)}=-1 \\ &G(s) H(s)=\frac{K \prod\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n-1}\left(s+p_{j}\right)}=K \frac{P(s)}{Q(s)}\\ &\text { 其中 } P(s)=\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{j}\right) Q(s)=\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right) \end{aligned} G(s)H(s)=KQ(s)P(s)=−1G(s)H(s)=∏j=1n−1(s+pj)K∏(s+zi)=KQ(s)P(s) 其中 P(s)=i=1∏m(s+zj)Q(s)=j=1∏n(s+pj)
换个角度，得到极点s 的匹配增益值函数：
K = − Q ( s ) P ( s ) K=-\frac{Q(s)}{P(s)} K=−P(s)Q(s)
这是N个定义域不同的匹配增益值函数。
匹配增益值函数分支在极点s的实定义域内单调增 ( 减 ) , 且在会和点处取得极大值。
再考虑到 K ≥ 0 K \geq 0 K≥0 (且为实数)的约束条件，就能得到真正的分离点和会合点。
分离点和会和点表面定义域不同但拥有相同的增益K。
渐进线
共有 ( n − m ) (n-m) (n−m) 条根轨迹分支沿着一组渐近线趋向无 穷远处 , 渐近线与实轴夹角为 ϕ A \phi_{A} ϕA, 与实轴交点为同一 点 σ A \sigma_{A } σA
渐近线与实轴的夹角：
ϕ A = ( 2 k + 1 ) 18 0 ∘ n − m , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − m − 1 \phi_{A}=\frac{(2 k+1) 180^{\circ}}{n-m}, k=0,1,2, \cdots, n-m-1 ϕA=n−m(2k+1)180∘,k=0,1,2,⋯,n−m−1
与虚轴的交点（对应劳斯表为0的时候）
A. 利用特征方程求取 用 j ω j \omega jω 替代 s s s, 令特征方程的实部、虚部等 于零，求得 ω \omega ω 和对应的 K 。 K_{\text {。 }} K。
1 + G ( s ) H ( s ) ∣ s = j ω = 0 1+\left.G(s) H(s)\right|_{s=j \omega}=0 1+G(s)H(s)∣s=jω=0
B. 用劳斯判据求取确定稳定性改变时，增益K 的临界值，再带入特征方程求得交点 j ω j \omega jω 。
出射角和入射角
根轨迹点 s s s 趋近开环出发极点 p r p_{r} pr 时，两者之差的相角正好是出射角, 而 s \mathrm{s} s 与其他开环零、极点诱导的相角，等效于由 p r p_{r} pr 与其他开环零、极点诱导产生的相角。
θ p r = ( 2 k + 1 ) π + ( ∑ j = 1 m φ z j p r − ∑ i = 1 ( i ≠ r ) n θ p i p r ) \begin{aligned} \theta_{p_{r}}=(2 k+1) \pi+\left(\sum\limits_{j=1}^{m} \varphi_{z_{j} p_{r}}-\sum\limits_{i=1 \atop(i \neq r)}^{n} \theta_{p_{i} p_{r}}\right) \end{aligned} θpr=(2k+1)π+⎝⎜⎛j=1∑mφzjpr−(i=r)i=1∑nθpipr⎠⎟⎞
k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots k=0,±1,±2,⋯
入射角有类似的结论。
φ z r = ( 2 k + 1 ) π − ( ∑ j = 1 ( j ≠ r ) m φ z j z r − ∑ i = 1 n θ p i z r ) \begin{aligned} \varphi_{z_{r}}=(2 k+1) \pi-\left(\sum_{j=1 \atop(j \neq r)}^{m} \varphi_{z_{j} z_{r}}-\sum_{i=1}^{n} \theta_{p_{i} z_{r}}\right) \end{aligned} φzr=(2k+1)π−⎝⎜⎛(j=r)j=1∑mφzjzr−i=1∑nθpizr⎠⎟⎞
k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots k=0,±1,±2,⋯
基于根轨迹的控制系统分析
典型传递函数的根轨迹
基于根轨迹的参数分析与设计
广义根轨迹
等效开环传递函数
1 + a P ( s ) Q ( s ) = 0 1+\frac{a P(s)}{Q(s)}=0 1+Q(s)aP(s)=0
用a顶替K的位置 ,绘制广义根轨迹
| 特征 | 数值 |
|---|---|
| 起始点 | s 1 , 2 = ± j s_{1,2}=\pm j s1,2=±j |
| 出射角 | θ a = 18 0 ∘ \theta_{a}=180^{\circ} θa=180∘ |
| 会合点 | s 1 , 2 = − 1 , a = 2 s_{1,2}=-1, a=2 s1,2=−1,a=2 |
增大二阶开环极点参数 a ，系统阻尼增大，直至过阻尼。
控制器对根轨迹的影响
控制器分类
附加开环零极点对二阶系统的影响（几种不同控制器的影响）
开环零点/微分控制器的影响（极端效应、适度效应、优选效应）
在不考虑控制器的情况下，根轨迹会是这样
K ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) \frac{K}{\left(T_{1} s+1\right)\left(T_{2} s+1\right)} (T1s+1)(T2s+1)K
0 ≤ z<1（零点介于原点和靠右极点之间）极端效应，始终过阻尼
1<z<2（零点介于两个极点之间）适度效应
z>2（零点在-∞和最左极点之间）优选效应
结论
增加合适的开环零点, 可以使根轨迹产生向左弯曲的倾向,提高系统阻尼比（等价ξ减小） 有利于提高系统稳定性和阻尼比。
开环极点/积分环节的影响（）
d≤1（新零点在两个极点右边）
1<d<2（新极点介于两个极点之间）
d>2（新零点在两个极点左边）
结论
增加开环极点，将使根轨迹产生向右弯曲的倾向。这不利于系统稳 定性 , 但有利于稳态精度。1/s是积分环节的极端情况。
开环零极点对
d>z, 微分效应占上风（下面大）
z>d, 积分效应占上风（上面大）
插入点的影响
PD控制器输出校正，附加闭环零点 ( 参见第七讲 )
PD控制器串联校正，附加开环零点
LP控制器输出校正，附加闭环极点 ( 参见第七讲 )
LP控制器中联校正，附加开环极点
PID控制器
比例调节
增大比例系数： 超调量增大， 调节时间不变， 稳态误差减小， 稳定性不变。
G ( s ) H ( s ) = K ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s) H(s)=\frac{K}{(s+1)(s+2)} G(s)H(s)=(s+1)(s+2)K
纯微分控制
增大纯微分系数： 出现过阻尼， 调节时间变大，稳态误差不变， 稳定性变差。
G ( s ) H ( s ) = K s ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s) H(s)=\frac{K s}{(s+1)(s+2)} G(s)H(s)=(s+1)(s+2)Ks
纯积分控制
增大纯积分系数： 超调量增大 调节时间变大 型数变大 , 改善稳态误差 稳定性变差 , 直至失稳。
G ( s ) H ( s ) = K s ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s) H(s)=\frac{
{K}}{s(s+1)(s+2)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)K
PID控制器
是药三分毒 !熟悉药理，对症下药！综合施治 !
G c ( s ) = K P + K I 1 s + K D s G_{c}(s)=K_{P}+K_{I} \frac{1}{s}+K_{D} s Gc(s)=KP+KIs1+KDs
PID控制器参数对系统阶跃响应性能的影响效果
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/116903.html
