线性代数(六)：相似对角化

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相似对角化

定义6.1：对$n$阶方阵$\mathbf{A}$,$\mathbf{B}$,若有可逆$n$阶方阵$\mathbf{P}$使得：$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$$则称$A$与$B$相似，记作$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，而$\mathbf{P}$称作相似变换矩阵。

Remark：矩阵的相似关系是一种矩阵等价的关系。

定理6.1：若$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$则$$r(A)=r(B),|A|=|B|,且A、B具有相同的特征值$$
证明：由矩阵相似的定义及 定理1.2可知：$r(A)=r(B)$
$$det(P^{-1})det(A)det(P)=det(B)⟹det(A)=det(B)$$$$det(A-\lambda E)=det(P^{-1})det(A-\lambda E)det(P)=det(P^{-1}AP-\lambda E)=det(B-\lambda E)$$故方阵$A,B$具有相同的特征多项式（特征值）。

定理6.2：在复数域上，任何$n$阶方阵$A$均可相似于一个上三角矩阵。

定义6.2：若存在与方阵$A$相似的对角矩阵，则称方阵$A$ 可相似对角化。

定理6.3：$n$阶矩阵$A$可相似对角化的$⟺$方阵$A$存在$n$个线性无关的特征向量，且：
$$P^{-1}AP=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$$其中, P = [ X ⃗ 1 , X ⃗ 2 , … , X ⃗ n ] ， { λ i , X ⃗ i } 为方阵 A 的特征对。 P=[\vec{X}_1,\vec{X}_2,\dots,\vec{X}_n]，\{\lambda_i,\vec{X}_i\}为方阵A的特征对。 P=[X
1​,X
2​,…,X
n​]，{
λi​,X
i​}为方阵A的特征对。

证明：若$n$阶方阵$A$可相似化，则存在可逆矩阵$P$，使得：$$AP=P\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right]$$
对$P$进行列分块，即$P=[{\vec{X}}_1,{\vec{X}}_2,\dots ,{\vec{X}}_n]$，${\vec{X}}_i\ne 0$则有：$$[A{\vec{X}}_1,A{\vec{X}}_2,\dots ,A{\vec{X}}_n]=[a_{11}{\vec{X}}_1,a_{22}{\vec{X}}_2,\dots ,a_{nn}{\vec{X}}_n]⟹A{\vec{X}}_i=a_{ii}{\vec{X}}_i（i=1,2,\dots ,n）$$
显然， { a i i , X ⃗ i } \{a_{ii},\vec{X}_i\} {
aii​,X
i​}为方阵$A$的特征对，由于$P$为可逆矩阵，即满秩，则其$n$个列向量线性无关。
反而言之，若$A$存在$n$个线性无关的特征向量，则按上述构造的可逆矩阵$P$与对角阵满足矩阵相似的定义式。（证毕）

Remark: 显然，方阵可对角化但与方阵相似的对角矩阵与可逆矩阵P并不唯一。
（1）调整对角阵对角元素的次序可得到不同的对角阵，此时，P阵列向量的次序也需对应作出调整；
（2）对角阵保持不变，此时,P阵也不唯一，因$k{X}_i（k\ne 0）$也是特征值${\lambda }_i$对应的特征向量。

推论6.1：方阵可相似对角化$⟺$方阵的$r$重特征值有$r$个线性无关的特征向量。

证明：由于需要n个线性无关的特征向量，且代数重数大于等于几何重数，故推论6.1成立。

定义6.3：若方阵可相似对角化且逆矩阵为正交矩阵（$P^{-1}=P^T$）则称该方阵可正交相似对角化。
定理6.4：实对称矩阵必可正交相似对角化。
证明：采用数学归纳法：
   \ \ \uad   对$n=1$阶方阵显然成立。
   \ \ \uad   假设对$n-1$阶方阵$A$该定理也成立，则下面证明对$n$阶矩阵该定理也成立:
   \ \ \uad   记方阵$A$的一特征值为$\lambda$,其对应的单位特征向量为$\vec{X}$
   \ \ \uad   由定理2.7，在$R^n$空间中存在标准正交向量组： { X ⃗ , α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n } \{\vec{X},\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n\} {
X
,α
2​,α
3​,…,α
n​}    \ \ \uad   其中， { α ⃗ 2 , α ⃗ 3 , … , α ⃗ n } \{\vec{\alpha}_2,\vec{\alpha}_3,\dots,\vec{\alpha}_n\} {
α
2​,α
3​,…,α
n​}不一定为$A$的特征向量。
   \ \ \uad   由定理2.9知有正交矩阵：$$P=[\vec{X},{\vec{\alpha }}_2,{\vec{\alpha }}_3,\dots ,{\vec{\alpha }}_n]$$
   \ \ \uad   那么：$$P^{-1}AP=P^{T}AP=\left[\begin{array}{c}{\vec{X}}^T\\ {\vec{\alpha }}_2^T\\ {\vec{\alpha }}_3^T\\ ⋮\\ {\overrightarrow{{\alpha }^T}}_n\end{array}\right]A[\vec{X},{\vec{\alpha }}_2,{\vec{\alpha }}_3,\dots ,{\vec{\alpha }}_n]=\left[\begin{array}{ccccc}{\vec{X}}^{T}A\vec{X}& {\vec{X}}^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{X}}^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{X}}^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_2^{T}A\vec{X}& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_2^T& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_3^{T}A\vec{X}& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\vec{\alpha }}_n^{T}A\vec{X}& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{\vec{X}}^T(A\vec{X})& {(A\vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_2& {(A\vec{X})}^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {(A\vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_2^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_3^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\vec{\alpha }}_n^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]$$
   \ \ \uad   又$A\vec{X}=\lambda \vec{X}$并由正交性得：$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccccc}{\vec{X}}^T(A\vec{X})& {(A\vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_2& {(A\vec{X})}^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {(A\vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_2^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_3^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\vec{\alpha }}_n^T(A\vec{X})& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{\vec{X}}^T(\lambda \vec{X})& {(\lambda \vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_2& {(\lambda \vec{X})}^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {(\lambda \vec{X})}^T{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_2^T(\lambda \vec{X})& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ {\vec{\alpha }}_3^T(\lambda \vec{X})& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\vec{\alpha }}_n^T(\lambda \vec{X})& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}\lambda & 0& 0& \dots & 0\\ 0& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_2^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ 0& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_3^{T}A{\vec{\alpha }}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_2& {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_3& \dots & {\vec{\alpha }}_n^{T}A{\vec{\alpha }}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& B_{n-1}\end{array}\right]$$
   \ \ \uad   由归纳假设存在正交矩阵Q,使得：$$Q^{-1}BQ=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_2& & & & \\ & {\lambda }_3& & & \\ & & {\lambda }_4& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$
   \ \ \uad   令$$P_1=\left[\begin{array}{cc}1& \\ & Q\end{array}\right]$$
   \ \ \uad   则$$P_1^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& \\ & Q^{-1}\end{array}\right]=P_1^T=\left[\begin{array}{cc}1& \\ & Q^T\end{array}\right]$$
   \ \ \uad   显然，$P_1$为正交矩阵。
   \ \ \uad   那么， P 1 − 1 P − 1 A P P 1 = [ 1 Q T ] [ λ 0 0 B ] [ 1 Q ] = [ λ Q T B Q ] = d i g a { λ , λ 1 , … , λ n } P_1^{-1}P^{-1}APP_1=\begin{bmatrix}1\\&Q^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\&Q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda\\&Q^TBQ\end{bmatrix}=diga\{\lambda,\lambda_1,\dots,\lambda_n\} P1−1​P−1APP1​=[1​QT​][λ0​0B​][1​Q​]=[λ​QTBQ​]=diga{
λ,λ1​,…,λn​}
   \ \ \uad   又$P,P_1$均为正交矩阵，则$P{P}_1$为正交矩阵。（证毕）

推论6.2：实对称矩阵必存在$n$个线性无关的特征向量，换而言之，其几何重数等于代数重数。