直观理解偏导数、方向导数和法向量和梯度

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转自：直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等 – shine-lee – 博客园

一、隐函数

显函数：解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以用y=f(x)来表示。

二、偏导数、方向导数、法向量与梯度

1.偏导数

导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢？则为偏导数。

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数，这里“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留一个变量，依次保留每个变量，则N元函数有N个偏导数。

由上可知，一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。

2.方向导数

如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点PP位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative

方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义xy平面上一点(a,b)以及单位向量 $\vec u$ =(cosθ,sinθ)，在曲面z=f(x,y)上，从点(a,b,f(a,b))出发，沿 $\vec u$ =(cosθ,sinθ)方向走t单位长度后，函数值z为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点(a,b)处 $\vec u$ =(cosθ,sinθ)方向的方向导数为：

$\begin{aligned} &\left.\frac{d}{d t} f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta)\right|_{t=0} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b+t \sin \theta)}{t} + \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \frac{\partial}{\partial x} f(a, b) \frac{d x}{d t}+\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \frac{d y}{d t} \\=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\=&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned}$

上面推导中使用了链式法则。其中，分别为函数在(a,b)位置的偏导数。由上面的推导可知：

该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

写成向量形式，偏导数构成的向量为 $\bigtriangledown f =(f_x(a,b),f_y(a,b))$ ，称之为梯度。

3.梯度

梯度，写作∇f，二元时为 $(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})$ ，多元时为 $(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},...)$ 。

我们继续上面方向导数的推导，(a,b)(a,b)处θ方向上的方向导数为:

$\begin{aligned} &\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \\ =& |((f_x (a, b), f_y (a, b))| \cdot |1| \cdot \cos \phi \\=& |\nabla f(a,b)| \cdot \cos \phi \end{aligned}$

其中，ϕ为∇f(a,b)与 $\vec u$ 的夹角，显然，当ϕ=0即 $\vec u$ 与梯度∇f(a,b)同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模|∇f(a,b)||，当ϕ=π即 $\vec u$ 与梯度∇f(a,b)反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角ϕ<π/2时方向导数为正，表示 $\vec u$ 方向函数值上升，ϕ>π/2时方向导数为负，表示该方向函数值下降。

至此，方才有了梯度的几何意义：

当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。

4.等高线图中的梯度

在讲解各种优化算法时，我们经常看到目标函数的等高线图示意图，如下图所示，来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain，

图中，红点为当前位置，红色箭头为梯度，绿色箭头为其他方向，其与梯度的夹角为θ。

将左图中z=f(x,y)曲面上的等高线投影到xy平面，得到右图的等高线图。

梯度与等高线垂直（更准确的说法是梯度和等高线的切线垂直）。为什么呢？

等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为z=f(x,y)=C，C为常数，两边同时全微分，如下所示：

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\...\quad\quad=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (dx, dy) \\...\quad\quad= dC = 0$

这里，两边同时全微分的几何含义是，在当前等高线上挪动任意一个极小单元，等号两侧的变化量相同。f(x,y)的变化量有两个来源，一个由x的变化带来，另一个由y的变化带来，在一阶情况下，由x带来的变化量为 $\frac{\partial f}{\partial x} dx$ ，由yy带来的变化量为 $\frac{\partial f}{\partial y} dy$ ，两者叠加为zz的总变化量，等号右侧为常数，因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元，其变化量为0，左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式， $(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$ 为梯度，(dx,dy)为该点指向任意方向的极小向量，因为两者内积为0，所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。

更进一步地，梯度方向指向函数上升最快的方向，在等高线图中，梯度指向高度更高的等高线。

5.隐函数的梯度

同理，对于隐函数f(x,y)=0，也可以看成是一条高度为零的等高线。这是二元的情况，两边同时微分，梯度垂直于曲线；多元时，两边同时微分，梯度垂直于高维曲面。

即，隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。

有了法向量，切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线f(x,y)上一点为(a,b)，通过全微分得该点的梯度为(，则该点处的切线为，相当于将上面的微分向量(dx,dy)替换为(x−a,y−b)，其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。

1.说到这里了，让我们上一道例题看看：

我们要求二维曲面的法向量（注：二维曲面的说明见下），就是求其对应的隐函数的梯度，然后再求切平面方程：

根据梯度跟切平面垂直的性质可知，梯度(2,4,6)跟平面内任一向量(x-1,y-1,z-1)垂直，及内积为零。

根据梯度和法向量方向相同，即平行，可求法线方程。

2.再看一道题：求y=kx+b的法向量。

同样，构造隐函数F(x,y) = kx + b -y

梯度为(k,-1), 故原直线的法向量为(k,-1）

6. n维曲面的定义

像称为二维曲面。

二维曲面其实不难理解，地球表面就是，只需要两个坐标就可定位，比如现实中的经度和纬度，所以被认为是二维。当然，这里比较容易混淆的就是，我们是在谈地球表面而非地球本身，地球本身当然是三维的。

7.小结

至此，文章开篇几个问题的答案就不难得出了，

偏导数构成的向量为梯度；
方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
微分的结果为梯度与微分向量的内积
等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
隐函数的梯度为高维曲面（曲线）的法向量

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