特勒根定理——另一个普遍性电路规律

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特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍使用的基本定理，任何满足基尔霍夫定律的电路都适用特勒根定理，它也给出了遵守基尔霍夫电路定律的电路之间的一个简单关系。可以说， 对集总电路来说，特勒根定理与基尔霍夫定律一样具有普遍意义。

1.定理的两种形式

⑴特勒根定理1

对于一个具有$n$个结点和$b$条支路的集总电路，假设支路电流和电压取关联参考方向，则对任何时刻$t$，有
$$\sum _{k=1}^b{u}_k{i}_k=0$$

⑵特勒根定理2

对于两个具有$n$个结点和$b$条支路的集总电路，如果它们具有相同的图（即相同的拓扑结构），但由内容不同的支路构成，假设各支路电流和电压取关联参考方向，并分别用（$i_1\text{，}{i}_2\text{，}\cdots \text{，}{i}_b$）、（$u_1\text{，}{u}_2\text{，}\cdots \text{，}{u}_b$）和（${\hat{i}}_1\text{，}{\hat{i}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\hat{i}}_b$）、（${\hat{u}}_1\text{，}{\hat{u}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\hat{u}}_b$）表示两电路中$b$条支路的电流和电压，则对任何时刻$t$，有
$$\sum _{k=1}^b{u}_k{\hat{i}}_k=0\text{，}\sum _{k=1}^b{\hat{u}}_k{i}_k=0$$

2.定理的实际意义

①特勒根定理1表明，任何时刻，任何电路的全部支路吸收功率的代数和恒为零，即功率守恒。

②特勒根定理2指出了在两个具有相同拓扑结构的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流，或者同一个电路在不同时刻的相应支路电压和支路电流所必须遵循的数学关系。

③特勒根定理实质上是根据电路的拓扑性质应用了基尔霍夫定律，并不涉及支路的内容，所以对任何线性、非线性、时变、时不变元件的集总电路都适用。

3.应用

如篇首所说，电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足KCL，支路电压和支路电流应当满足关联参考方向，否则公式中须加负号。

特勒根定理常用于求解 “黑匣子”双端口电阻网络问题，此应用即所谓端口形式的特勒根定理（本质上是特勒根定理2的特殊体现）。

题1图1和图2电路中N为电阻网络，已知图1中各电压、电流，求图2中的电流$I$。

解析：这是非常典型的适于特勒根定理的题目。设定电压、电流参考方向并标注图1和图2电路分别如图3和图4所示。

已知$U_1=1.8\text{V，}{I}_1=0\text{，}{U}_2=3\text{V，}{I}_2=-0.3\mathrm{A}$

${\hat{I}}_1=-2\text{A，}{\hat{U}}_2=6\text{V，}{\hat{I}}_2=-I$。

题2图5中网络N仅由电阻组成。对不同的输入电压$U_S$及不同的$R_1$、$R_2$值进行了两次测量，得下列数据：$R_1=R_2=2\Omega$时，$U_S=8\mathrm{V}$，$I_1=2\mathrm{A}$，$U_2=2\mathrm{V}$；$R_1=1.4\Omega$，$R_2=0.8\Omega$时，${\hat{U}}_S=9\mathrm{V}$，${\hat{I}}_1=3\mathrm{A}$，求${\hat{U}}_2$的值。

解析：设网络N左边端口电压为$U_1$，如图6所示。（因为$R_1$有变化，所以不将其与网络N作为一个整体，免去使用特勒根定理时计算$R_1$支路。）

第一次测量时（$R_1=R_2=2\Omega$），有
$$U_1=U_S-R_1{I}_1=4\text{V，}{I}_1=2\mathrm{A};$$$$U_2=2\text{V，}{I}_2=\frac{U_2}{R_2}=\frac{2}{2}=1\mathrm{A}$$
第二次测量时（$R_1=1.4\Omega$，$R_2=0.8\Omega$），有
$${\hat{U}}_1={\hat{U}}_S-R_1{\hat{I}}_1=4.8\text{V，}{\hat{I}}_1=3\text{A，}{\hat{I}}_2=\frac{{\hat{U}}_2}{R_2}=\frac{{\hat{U}}_2}{0.8}$$
根据特勒根定理2（注意这里左端口是非关联方向），有
$$U_1\left(-{\hat{I}}_1\right)+U_2{\hat{I}}_2={\hat{U}}_1\left(-I_1\right)+{\hat{U}}_2{I}_2$$
代入数据，解得
$${\hat{U}}_2=1.6\mathrm{V}$$

综合题★★★

题3电路如图7所示，网络N仅由线性电阻组成，$I_S=2\mathrm{A}$，$R_1=4\Omega$， a、b端左侧戴维宁等效电压和电阻分别为$5\mathrm{V}$和$1\Omega$。现将a、b短路，如图8所示，为使$I_S$端电压$u_1$不变，在$I_S$支路串联一电阻$R$，求$R$的值。

解析：依题意，$u_{oc}=5\text{V，}{R}_{eq}=1\Omega$，则有
$$u_2=5\times \frac{4}{1+4}=4(\mathrm{V})$$
$${\hat{i}}_2=\frac{5\mathrm{V}}{1\Omega }=5\mathrm{A}$$（这里${\hat{i}}_2$就是a、b端短路电流。）

综合题★★★★

题4电路如图9和图10所示，N为线性无源电阻网络，已知图9中$i_1=2\mathrm{A}$，$i_2=1\mathrm{A}$，求图10中10V电压源发出的功率。

解析：将网络N和两个4Ω电阻看作一个整体，对图9，$U_1=12\mathrm{V}$，$I_1=-2\mathrm{A}$，$U_2=0$，$I_2=1\mathrm{A}$；对图10，${\hat{U}}_1=10\mathrm{V}$， ${\hat{U}}_2=8\mathrm{V}$。