样条函数（spline function）—— 分段多项式函数（piecewise polynomial function）

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1. 分段多项式函数

样条函数是某种意义上的分段函数。

Spline (mathematics) – Wikipedia

最简单的样条函数是一种分段多项式函数（piecewise polynomial function），样条函数 $S:[a, b]\rightarrow \mathbb R$。

$S$ 是在定义域 $[a, b]$ 上分段定义的，我们将 $[a, b]$ 划分为 $k$ 个子区间。

$$\begin{split} &[t_i, t_{i+1}] \mbox{ , } i = 0,\ldots, k-1\\ &[a,b] = [t_0,t_1] \cup [t_1,t_2] \cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1}] \cup [t_{k-1},t_k]\\ &a = t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{k-1} \le t_k = b\\ \end{split}$$

每一段区间上，定义如下的多项式函数：

$$P_i: [t_i, t_{i+1}] \rightarrow \mathbb R$$

最终该样条函数可被分解为如下的形式：

$$S(t) = P_0 (t) \mbox{ , } t_0 \le t < t_1,\\ S(t) = P_1 (t) \mbox{ , } t_1 \le t < t_2,\\ \vdots\\ S(t) = P_{k-1} (t) \mbox{ , } t_{k-1} \le t \le t_k$$

$k+1$ 个点 $t_i$ 称为 knots（结），$\vec t=(t_0, \dots, t_k)$ 称为 knot vector。