【集合论】关系性质 ( 传递性 | 传递性示例 | 传递性相关定理 )

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一、传递性

传递性 :

$R\subseteq A\times A$

$R$ 是传递的

$\iff$

$\forall x\forall y\forall z(x\in A\wedge y\in A\wedge z\in A\wedge xRy\wedge yRz\to xRz)$

$\iff$

$(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\forall z\in A)[xRy\wedge yRz\to xRz]$

$R$ 是非传递的

$\iff$

$\exists x\exists y\exists z(x\in A\wedge y\in A\wedge z\in A\wedge xRy\wedge yRz\to \neg xRz)$

传递性描述 : 任意三个元素 $x,y,z$ , $x$ 与 $y$ 有关系 $xRy$ , $y$ 和 $z$ 有关系 $yRz$ , $x$ 和 $z$ 有关系 $xRz$ ;

大于 , 大于等于 , 小于 , 小于等于 , 等于 , 等关系 , 是传递的 ;

二、传递性示例

上述关系图中 , 符合 当 $xRy$ , $yRz$ 时 , 存在 $xRz$ , 则上述关系是传递的 ;

上述关系图中 , 符合 当 $xRy$ , $yRz$ 时 , 不存在 $xRz$ , 则上述关系不是传递的 ;

上述关系图中 , 不符合 $xRy$ , $yRz$ 的前提条件 , 因此也不需要验证是否存在 $xRz$ , 传递性默认存在 , 当出现 $xRy$ , $yRz$ 时 , 也必须出现 $xRz$ , 如果前提不成立 , 关系默认是传递的 ;

同理 , 上述关系图不符合前提 , 默认是传递的 ;

上述关系图前提条件符合 , 有 $xRy$ , $yRz$ 时 , 不存在 $xRz$ , 此时传递不成立 , 因此上述关系是非传递的 ;

三、传递性定理

传递性定理 :

$R$ 是传递的

$\iff$

$R\circ R\subseteq R$

$\iff$

$R^{-1}$ 是传递的

$\iff$

$\forall i\forall j,M(R\circ R)(i,j)\le M(R)(i,j)$

$\iff$

$G(R)$ 关系图中 , $\forall a_i\forall a_j\forall a_k$ , 如果存在有向边 $<a_i,a_j>$ 和 $<a_j,a_k>$ , 那么必定存在有向边 $<a_j,a_k>$ ;