实变函数基础（一）

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前言

由于概率论等学科会运用到测度论的一些知识，所以想系统学习一下相关的理论，建立一个更清晰的认识，而不是以前那种模模糊糊的感觉。

主要记录一些性质定理及思考，是用自己的话对相关性质定理的再描述，可能不准确，主要方便个人理解，具体推导及证明详见教材或视频。

• 参考教材：实变函数与泛函分析概要（郑维行 王声望 第五版）
• 参考资源：【近代应用数学-南京大学】给非数学系的基础入门款 群论/实变/点集拓扑/泛函

1. 集、映射、可列集

映射

• 性质1：

$A_0\subset A,B_0\subset B,f:A\to B$

有

$$f(f^{-1}(B_0))\subset B_0，f^{-1}(f(A_0))\supset A_0$$

左式中，因为$B_0$可能不全在值域里，所以$B_0$的原像再映射是包含于$B_0$的。

• 性质2：

$$f(\bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha })=\bigcup _{\alpha \in I}f(A_{\alpha })$$

即求并和映射可以交换

$$f(\bigcap _{\alpha \in I}{A}_{\alpha })\subset \bigcap _{\alpha \in I}f(A_{\alpha })$$

注意是包含而不是等于，例：

$A_0=[0,1],A_1=[-1,0],f:x\to x^2$

$$f^{-1}(\bigcup _{\alpha \in I}{B}_{\alpha })=\bigcup _{\alpha \in I}{f}^{-1}(B_{\alpha })$$

$$f^{-1}(\bigcap _{\alpha \in I}{B}_{\alpha })=\bigcap _{\alpha \in I}{f}^{-1}(B_{\alpha })$$

可列集

• 若两个A，B集合间存在一一映射，即称A，B对等
• 可列集：与自然数集合$\mathbb{N}$对等的集合

注：可列集可以理解为“可以列出的集合”，即如果能找到一种方式，将这个集合中的元素以某种顺序“排序”一个一个列出，此集合即为可列集。

有理数集$\mathbb{Q}$为可列集

• 性质1：可列集的子集是至多可列集（有限集或可列集）
• 性质2：$\mathbb{R}$上任一组互不相交的开区间集是至多可列的

任一开区间均可选一有理数，所以与一个有理数集的子集一一对应，所以至多可列。

• 性质3：任一无限集含有一个可列子集

一个一个地选取（无放回）即可构造出。

• 性质4：无限集必与它的一个真子集对等

无限集去掉一个它的可列子集中的一个元素（如$a_1$）即为其真子集，这个真子集与无限集对等（不在可列子集中的元素一一对应，在可列子集中的元素集体往后对应一个即可）

• 性质5：可列个可列集的并集仍然可列

当然也可有其他的排序方式，如方形的。

• 性质6：$[0,1]$是不可列集

$[0,1]$应该是最经典的不可列集了，证明方式为反证法。

假设 [ 0 , 1 ] = { x 1 , . . . , x n } [0,1]=\{x_1,…,x_n \} [0,1]={
x1​,…,xn​}

也就是说，我们想弄出一个在$[0,1]$中的元素，但又不是$x_1,x_2,x_3,\dots$中任意一个。

数分中有类似的生成方式。

将区间三等分，则存在至少有一个区间不包含$x_1$（不二等分是因为区间端点会重合，不能保证至少一个，所以四等分五等分也可以，或者中间隔一段地分也行，三等分只是描述起来最简单），继续在此区间三等分，则存在至少有一个区间不包含$x_2$。

重复此过程，则由区间套定理，可以搞出一个在$[0,1]$中，但又不是$x_1,x_2,x_3,\dots$中任意一个的元素，即矛盾。