高等数学 5.1 定积分的概念与性质

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文章目录

一、定积分的定义
- 1.定义
- 2.定积分的几何意义
二、定积分的近似计算
三、定积分的性质

一、定积分的定义

1.定义

定义设函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 中任意插入若干个分点
$x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n – 1} < x_n = b$
把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间
$[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots , [x_{n – 1}, x_n] ,$
各个小区间的长度依次为
$\Delta x_1 = x_1 – x_0, \Delta x_2 = x_2 – x_1, \cdots , \Delta x_n = x_n – x_{n – 1} ,$
在每个小区间 $x_{i – 1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i (x_{i – 1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i)$ ，做函数值 $f(\xi_i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi_i) \Delta x_i (i = 1, 2, \cdots, n)$ 并作出和
$\sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{1}$
记 $\lambda = \max{\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n \}}$ ，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a, b]$ 的分法及点 $\xi_i$ 的取法无关，把么称这个极限 $I$ 为函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分（简称积分），记作 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ ，即
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{2}$
其中 $f (x)$ 叫做被积函数， $\mathrm{d}x$ 叫做被积表达式， $x$ 叫做积分变量， $a$ 叫做积分下限， $b$ 叫做积分上限， $[a, b]$ 叫做积分区间。

注意：当和式 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 的极限存在时，其极限 $I$ 仅与被积函数 $f (x)$ 及积分区间 $[a, b]$ 有关。如果既不改变被积函数 $f$ ，也不改变积分区间 $[a, b]$ ，而只把积分变量 $x$ 改写成其他字母，例如 $t$ 或 $u$ ，那么，这时和的极限 $I$ 不变，也就是定积分的值不变，即
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_a^b f(u) \mathrm{d}u .$
这就是说，定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

和式 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 通常称为 $f (x)$ 的积分和。如果 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分存在，那么就说 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

对于定积分，有这样一个重要的问题：函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上满足怎样的条件， $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1 设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

定理2 设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

2.定积分的几何意义

在 $[a, b]$ 上 $\geqslant 0$ 时，我们已经知道，定积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 表示由曲线 $y = f (x)$ ，两条直线 $x = a, x = b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积；

在 $[a, b]$ 上 $\leqslant 0$ 时，由曲线 $y = f (x)$ ，两条直线 $x = a, x = b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形位于 $x$ 轴下方，定积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 表示上述曲边梯形面积的负值；

在 $[a, b]$ 上 $f (x)$ 既取得正值又取得负值时，函数 $f (x)$ 的图形某些部分在 $x$ 轴上方，而其他部分在 $x$ 轴下方，此时定积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 表示 $x$ 轴上方图形面积减去 $x$ 轴下方图形面积所得之差。

二、定积分的近似计算

1.矩形法

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，这时定积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 存在。采取把区间 $[a, b]$ 等分的分法，即用分点 $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n = b$ 将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个长度相等的小区间，每个小区间长为
$\Delta x = \cfrac{b – a}{n} ,$
在小区间 $x_{i – 1}, x_i]$ 上，取 $\xi_i = x_{i – 1}$ ，应有
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \cfrac{b – a}{n} \sum_{i = 1}^n f(x_{i – 1}) ,$
从而对于任意确定的正整数 $n$ ，有
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b – a}{n} \sum_{i = 1}^n f(x_{i – 1}) .$
记 $f(x_i) = y_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n)$ 上式可记作
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b – a}{n} (y_0 + y_1 + \cdots + y_{n – 1}) . \tag{3}$
如果取 $\xi_i = x_i$ 则可得近似公式
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \cfrac{b – a}{n} (y_1 + y_2 + \cdots + y_n) . \tag{4}$

公式 $(3)$ 与 $(4)$ 称为矩形法公式。

2.梯形法

和矩形法一样，将区间 $[a, b]$ n等分。设 $f(x_i) = y_i$ ，曲线 $y = f (x)$ 上的点 $x_i, y_i)$ 记作 $M_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n)$ 。

梯形法的原理是：将曲线 $y = f (x)$ 上的小弧段 $\overset{\LARGE{\frown}}{M_{i – 1}M_i}$ 用直线段 $\overline{M_{i – 1} M_i}$ 代替，也就是把窄条曲边梯形用窄条梯形代替，由此可得到定积分的近似值为
$\begin{align*} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x & \approx \cfrac{b – a}{n} \left( \cfrac{y_0 + y_1}{2} + \cfrac{y_1 + y_2}{2} + \cdots \cfrac{y_{n -1} + y_n}{2} \right) \\ &= \cfrac{b – a}{n} \left( \cfrac{y_0 + y_n}{2} + y_1 + y_2 + \cdots + y_{n – 1} \right) \tag{5} \end{align*}$

显然，梯形法公式 $(5)$ 所得的近似值就是矩形法公式 $(3)$ 和 $(4)$ 所得两个近似值的平均值。

3.抛物线法

抛物线法的原理是：将曲线 $y = f (x)$ 上的两个小弧段 $\overset{\LARGE{\frown}}{M_{i – 1} M_i}$ 和 $\overset{\LARGE{\frown}}{M_i M_{i + 1}}$ 合起来，用过 $M_{i – 1}, M_i, M_{i + 1}$ 三点的抛物线 $px^2 + qx + r (p \neq 0)$ 代替。经推导可得，以此抛物线弧段为曲边、以 $x_{i – 1}, x_{i + 1}]$ 为底的曲边梯形面积为
$\cfrac{1}{6} (y_{i – 1} + 4y_i + y_{i + 1}) \cdot 2\Delta x = \cfrac{b – a}{3n} (y_{i – 1} + 4y_i + y_{i + 1}) .$

取 $n$ 为偶数，得到定积分的近似值为
$\begin{align*} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x & \approx \cfrac{b – a}{3n} [(y_0 + 4y_1 + y_2) + (y_2 + 4y_3 + y_4) + \cdots + (y_{n – 2} + 4y_{n – 1} + y_n)] \\ &= \cfrac{b – a}{3n} [y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \cdots + y_{n – 1}) + 2(y_2 + y_4 + \cdots + y_{n – 2})] . \tag{6} \end{align*}$

三、定积分的性质

性质1 设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数，则
$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta \mathrm{g}(x)] \mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \beta \int_a^b \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x .$

性质2 设 $a < c < b$ 则
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x .$

性质3 如果在区间 $[a, b]$ 上 $\equiv 1$ ，那么
$\int_a^b 1 \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x = b – a .$

性质4 如果在区间 $[a, b]$ 上 $\geqslant 0$ ，那么
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \geqslant 0 \quad (a < b) .$

推论1 如果在区间 $[a, b]$ 上 $\leqslant \mathrm{g}(x)$ ，那么
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant \int_a^b \mathrm{g}(x) \mathrm{d}x \quad (a < b) .$

推论2 $\displaystyle \left| \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b \left| f(x) \right| \mathrm{d}x \quad (a < b)$ .

性质5 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则
$\leqslant \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leqslant M(b – a) \quad (a < b) .$

性质6（积分中值定理） 如果函数 $f (x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上连续，那么在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ，使下式成立：
$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = f(\xi) (b – a) \quad (a \leqslant \xi \leqslant b) .$

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