脉冲函数（也称冲激函数）

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用矩形脉冲的极限来定义冲激函数

下图所示为宽为 $\tau$ ，高为 $\frac{1}{\tau }$ 的矩形脉冲，当保持矩形面积 $\tau \cdot \frac{1}{\tau }=1$ 不变，而使脉冲宽度 $\tau$ 趋向于零时，脉冲幅度 $\frac{1}{\tau }$ 趋向于无穷大，这种极限情况就是单位冲激函数，一般用用符号 $\delta (t)$ 表示，又称做 $\delta$ 函数。

$\delta (t)=\lim_{\tau \to 0}\frac{1}{\tau }\left [ u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2}) \right ]\; \; \; \; (1-1)$

上面公式中， u(t) 表示单位阶跃函数， $\frac{1}{\tau }\left [ u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2}) \right ]$ 是由两个阶跃函数合成的脉动函数。也就是说，脉动函数的极限就是脉冲函数。它的宽度趋向于0，高度趋向于无穷大，面积等于1。

单位冲激函数示意图用箭头表示，如下图所示

它示意表明， $\delta (t)$ 只在 t=0 点有一“冲激”，在 t=0 以外各处，函数值都是零。

在 $t_{0}$ 时刻出现的单位脉冲函数表示为 $\delta (t-t_{0})$ 。

脉冲函数的强度一般用面积来表示。强度为的脉冲函数 f(t) 可以表示为 $f(t)=E\delta (t)$ 。在 $t_{0}$ 时刻出现的脉冲函数表示为 $f(t-t_{0})=E\delta (t-t_{0})$ 。

狄拉克（Dirac）给出 $\delta$ 函数另外一种定义方式

$\left\{\begin{matrix} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1\\ \delta (t)=0\; \; \; \; \; \; (t\neq 0) \end{matrix}\right.\; \; \; \; (2-1)$

此定义与(1-1)式的定义相符合。有时，也称 $\delta$ 函数为狄拉克函数。

为了描述在任何一点 $t=t_{0}$ 处出现的冲激，用如下的 $\delta (t-t_{0})$ 的定义

$\left\{\begin{matrix} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{0})dt=1\\ \delta (t-t_{0})=0\; \; \; \; \; \; (t\neq t_{0}) \end{matrix}\right.\; \; \; \; (2-1)$

示意图

冲激函数的性质

抽样特性（或称筛选特性）

如果单位冲激信号 $\delta (t)$ 与一个在 t=0 处连续、且处处有界的信号 f(t) 相乘，则其乘积仅在 t=0 处得到 $f(0)\delta (t)$ ，其余各点之乘积均为零，因此得到冲激函数的如下性质

$\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(t)dt=\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(0)dt$

$=f(0)\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=f(0)\; \; \; \; \; (3-1)$

同理，对于延迟 $t_{0}$ 的单位冲激信号，有

$\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{0})f(t)dt=\int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{0})f(t_{0})dt=f(t_{0})\; \; \; \; (3-2)$

从上面两个公式可以看出冲激信号的抽样特性（或称筛选特性）：连续信号 f(t) 与单位冲激信号 $\delta (t)$ 相乘，并在 $-\infty$ 到 $\infty$ 范围内取积分，可以得到 f(t) 在 t=0 时刻的抽样值 f(0) ；若将单位冲激响应移到 $t_{0}$ 时刻，则筛选出 $f(t_{0})$ 。

冲激函数是偶函数

冲激函数具有如下性质

$\delta (t)=\delta (-t)\; \; \; \; \; (3-3)$

即，冲激函数是偶函数。

冲激函数的积分等于阶跃函数

$\int_{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau =u(t)\; \; \; \; (3-4)$

反过来，阶跃函数的导数等于冲激函数

$\frac{d}{dt}u(t)=\delta (t)\; \; \; \; (3-5)$

解释：阶跃函数 u(t) 在除 t=0 以外的各点都取固定值，变化率为零。而在 t=0 处有不连续点，产生突然跳变，这个变化率（导数）就对应在 t=0 的冲激。

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