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hello
今天我们进行一个对于数论基础：
勾股数组
1，认识勾股数组
2，认识本源勾股数组
3，前置任务： a , b , c \boldsymbol{a,b,c} a,b,c 的奇偶性
4，构造本源勾股数组的的通用公式
认识勾股数组
下面是前几个例子
3 2 + 4 2 = 5 2 , 5 2 + 1 2 2 = 1 3 2 \mathcal{3^2+4^2=5^2,5^2+12^2=13^2} 32+42=52,52+122=132
8 2 + 1 5 2 = 1 7 2 , 2 8 2 + 4 5 2 = 5 3 2 \mathcal{8^2+15^2=17^2,28^2+45^2=53^2} 82+152=172,282+452=532
我们不禁会发问：是否有无数个勾股数组？
因为
( d a ) 2 + ( d b ) 2 = d 2 a 2 + d 2 b 2 = d 2 ( a 2 + b 2 ) = d 2 c 2 = ( d c ) 2 \mathcal{(da)^2+(db)^2=d^2a^2+d^2b^2=d^2(a^2+b^2)=d^2c^2=(dc)^2} (da)2+(db)2=d2a2+d2b2=d2(a2+b2)=d2c2=(dc)2
认识本源勾股数组
我们刚刚推出了求出无限个勾股数组的方法
但显然，这些新的勾股数组并不令人感兴趣
所以我们转而关注没有大于1的公因数的勾股数组
本源勾股数组（简写为 P P T PPT PPT ）
前置任务： a , b , c \boldsymbol{a,b,c} a,b,c 的奇偶性
在数论研究中，第一步就是积累数据。
例如，似乎
a a a 与 b \mathcal{b} b 奇偶性不同且 c \mathcal{c} c 总是奇数。
不难证明这些猜想是正确的。
首先，
如果 a a a 与 b b b 都是偶数，则 c c c 也一定是偶数，这说明这个三元组不是本源勾股数组。
其次
如果 a a a 和 b b b 都是奇数，那么 c c c 必定是偶数。
于是存在 x , y , z x,y,z x,y,z 使得
a = 2 x + 1 , b = 2 y + 1 , c = 2 z . \mathcal{a=2x+1,b=2y+1,c=2z.} a=2x+1,b=2y+1,c=2z.
带入 a 2 + b 2 = c 2 \mathcal{a^2+b^2=c^2} a2+b2=c2 得
( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 = ( 2 z ) 2 , \mathcal{(2x+1)^2+(2y+1)^2=(2z)^2,} (2x+1)2+(2y+1)2=(2z)2,
4 x 2 + 4 x + 4 y 2 + 4 y + 2 = 4 z 2 \mathcal{4x^2+4x+4y^2+4y+2=4z^2} 4x2+4x+4y2+4y+2=4z2
两边同时除以 2 \sf{2} 2得
2 x 2 + 2 x + 2 y 2 + 2 y + 1 = 2 z 2 \mathcal{2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2} 2x2+2x+2y2+2y+1=2z2
最后一个式子等于是在说一个奇数等于一个偶数，显然这是不可能的，
构造本源勾股数组的的通用公式
考虑到 a , b a,b a,b的对称性，我们的问题化为求解方程
a 2 + b 2 = c 2 ， a 是奇数 , b 是偶数 , a , b , c 没有公因数 a^2+b^2=c^2，a是奇数,b是偶数,a,b,c没有公因数 a2+b2=c2，a是奇数,b是偶数,a,b,c没有公因数
的所有自然数解
我们的第一个发现如下：如果 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c) 是本源勾股数组，则可进行因式分解
a 2 = c 2 − b 2 = ( c − b ) ( c + b ) \mathcal{a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)} a2=c2−b2=(c−b)(c+b)
由前面的列表，另一个观察是： c − b 与 c + b \mathcal{c-b与c+b} c−b与c+b 似乎没有公因数。
我们可如下证明这个断言：
假设正整数 d d d 是 ( c − b ) 与 ( c + b ) \mathcal{(c-b)与(c+b)} (c−b)与(c+b) 的公因数，即 d d d 整除 c − b 与 c + b c-b与c+b c−b与c+b 则 d d d 也整除
( c + b ) + ( c − b ) = 2 c 与 ( c + b ) − ( c − b ) = 2 b \mathcal{(c+b)+(c-b)=2c}与\mathcal{(c+b)-(c-b)=2b} (c+b)+(c−b)=2c与(c+b)−(c−b)=2b
因此 d d d 整除 2 b 2b 2b 与 2 c 2c 2c.
但是由于我们假设了 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c) 是本源勾股数组，所以 b b b 与 c c c没有公因数。从而 d d d 必定等于 1 \boldsymbol{1} 1 或者 $\boldsymbol{2}
$.
同时 d d d 也整除 ( c − b ) ( c + b ) = a 2 \mathcal{(c-b)(c+b)=a^2} (c−b)(c+b)=a2 且 a a a 是奇数，故 d d d 必等于 1 \boldsymbol{1} 1 换句话说，整除 c − b c-b c−b 与 c + b c+b c+b 的数只能是
1 1 1.
所以， c − b c-b c−b 与 c + b c+b c+b 没有公因数.
现在我们知道 c − b 与 c + b c-b与c+b c−b与c+b 且由于 ( c − b ) ( c + b ) = a 2 (c-b)(c+b)=a^2 (c−b)(c+b)=a2，所以 c − b c-b c−b 与 c + b c+b c+b 的积是平方数这种情况只在 c − b c-b c−b 与 c + b c+b c+b 本身是平方数时才会出现。
（如果考虑将 c − b c-b c−b 与 c + b c+b c+b 分解成素数乘积，就会发现从直观上这是显而易见的，因为 c − b c-b c−b 的分解式中的素数与 c + b c+b c+b 中的素数不同。然而，素数分解的存在性与唯一性并不显然，以后有机会我会专门出一篇帖子讲一下因数分解和算数基本定理）
勾股数组定理：
每个本源勾股数组 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c) （其中 a a a 为奇数， b b b 为偶数）都可从以下公式得出：
a = s t , b = s 2 − t 2 2 , c = s 2 + t 2 2 \mathcal{a=st,b=\frac{s^2-t^2}{2},c=\frac{s^2+t^2}{2}} a=st,b=2s2−t2,c=2s2+t2
其中 s > t ≥ 1 \mathcal{s>t\ge1} s>t≥1 是任意没有公因数的奇数
还需说明 s t , s 2 − t 2 2 st,\frac{s^2-t^2}{2} st,2s2−t2 和 s 2 + t 2 2 \frac{s^2+t^2}{2} 2s2+t2 没有公因数.利用素数的性质是很容易证明这个结论的，因此我打算出完因数分解和算数基本定理后再作为习题由你们完成。
习题
1.我们证明了在任何 P P T PPT PPT 中， a a a 或 b b b 是偶数。用相同的论证方法证明 a a a 或 b b b 必定是 3 \boldsymbol{3} 3 的倍数。
2.非零整数 d d d 整除 m m m 是指对某个整数 k k k 满足 m = d k m=dk m=dk。
证明：若 d d d 整除 m m m 与 n n n ，则它也整除 m − n m-n m−n 和 m + n m+n m+n。
3.下面是两个本源勾股数组：
3 3 2 + 5 6 2 = 6 5 2 ， 1 6 2 + 6 3 2 = 6 5 2 \boldsymbol{33^2+56^2=65^2，16^2+63^2=65^2} 332+562=652，162+632=652
再至少找到一个新例子，使得两个本源勾股数组拥有相同的 c c c 值。你能找到有相同 c c c 值的三个本源勾股数组吗？你能找到多于 3 3 3个有相同 c c c值的本源勾股数组吗？
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