Math Reference Notes: 余式定理

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余式定理为多项式除法提供了一种高效的方法，特别是在面对一次除式时。通过简单的代入计算，可以快速得到余数。同时，余式定理和因式定理一起，为多项式因式分解、根的求解等提供了重要工具。在多项式运算中，它是一项非常有用的定理。

1. 余式定理的定义

余式定理（Remainder Theorem）是一个用于多项式除法的重要定理。它说明，当一个多项式 $f(x)$ 被除以形如 $x-a$ 的一次多项式时，余数可以通过直接将 $a$ 代入 $f(x)$ 来得到。换句话说：

如果将多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$，则所得余数是 $f(a)$。

数学表达：
设有多项式 $f(x)$，若 $f(x)$ 除以 $x-a$，则
$$f(x)=(x-a)q(x)+r$$
其中，$q(x)$ 是商，$r$ 是余数。

2. 余式定理的含义

该定理表示，如果我们将 $a$ 代入多项式 $f(x)$ 中，计算出的结果就是 $f(x)$ 被 $x-a$ 除时的余数。因此，余式定理为我们提供了一种快速求解多项式除法余数的方法，而无需进行完整的多项式长除法或综合除法。

3. 余式定理的推导

当 $x=a$ 时，代入公式可得：
$$f(a)=(a-a)q(a)+r=0\times q(a)+r=r$$
所以，$r=f(a)$。这证明了余式定理的正确性。

4. 余式定理的例子

例 1：

考虑多项式 $f(x)=x^3-4x^2+5x-2$，将其除以 $x-3$。

根据余式定理，余数为 $f(3)$。
我们将 $3$ 代入多项式 $f(x)$ 中：
$$f(3)=3^3-4\times 3^2+5\times 3-2=27-36+15-2=4$$
因此，余数为 4。

例 2：

设 $f(x)=2x^4-3x^3+4x-5$，要将其除以 $x+1$。

除式是 $x+1$，可以写成 $x-(-1)$，所以 $a=-1$。

代入 $f(-1)$：
$$f(-1)=2(-1{)}^4-3(-1{)}^3+4(-1)-5=2+3-4-5=-4$$
因此，余数为 -4。

5. 余式定理的应用

a. 多项式除法中的快速余数计算
余式定理提供了一种快速方法来找到多项式被 $x-a$ 除后的余数，而无需进行完整的多项式长除法。只需要将 $a$ 代入 $f(x)$，我们便能直接得到余数。

b.根的检验与因式定理的联系
余式定理与因式定理密切相关。根据因式定理，若 $f(a)=0$，则 $x-a$ 是 $f(x)$ 的一个因式，即 $f(x)$ 可以被 $x-a$ 整除。这意味着 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的余数为 0。

因此，余式定理不仅可以帮助我们快速找到余数，还可以用来检验 $a$ 是否为多项式的根。如果 $f(a)=0$，则 $a$ 是根，且 $x-a$ 是多项式的一个因式。

c.多项式分解中的应用
余式定理可以用来简化多项式分解。通过使用因式定理和余式定理，可以找到多项式的根，从而将其分解为多个一次因式的乘积形式。

6. 余式定理与综合除法的关系

在使用综合除法时，最后得到的余数正好与余式定理给出的结果一致。也就是说，综合除法中最后一行的最后一个数就是余数，而这个余数与直接代入 $f(a)$ 得到的结果相同。因此，综合除法可以看作是余式定理的一个操作步骤，尤其在多项式除以 $x-a$ 时。

7. 常见问题与注意事项

• 适用范围：余式定理只适用于将多项式除以形如 $x-a$ 的一次多项式。如果除式的次数大于 1（如 $x^2+x+1$），则不能直接使用余式定理。
• 快速检验：余式定理是多项式除法中的一种快捷方式。它可以用于快速检查根和求余数，而不需要逐步做完整的多项式除法。