控制算法整理

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控制系统结构

控制器就是逻辑大脑，测量反馈通过传感器，将当前被控对象的状态返回，就相当于我们的感官。
比如，人要走路，目标位置就是给定输入，控制器就是大脑，执行单元就是腿，控制的body，眼睛是传感，最后的输出设定就是实际到达位置，大脑接收到眼睛测到的实际位置与给定位置的偏差，然后决策产生电信号，推动腿，带动身体走动。

系统基本都是这逻辑，反馈很重要，没有反馈的系统，都是不太鲁棒的。

控制算法逻辑介绍

其实一切常理描述很容易，数学表达却复杂。

传统控制算法与现代控制算法的思路对比

传递函数是将微分方程，通过拉氏变换，将微积分(时间)替换成s；而状态方程就是微积分方程，每个状态方程都包含一个一阶微分方程，层层迭代，因而能表示多阶微分及多变量系统。

传统控制算法是基于误差来计算给定输入控制量；而现代控制理论是基于状态方程，改变状态导数与状态得关系，即$\dot{x}=f(x)+u\to \dot{x}=g(x)$，从而调节系统性能。

相比较的话：

• 经典传统的控制算法是一种被动式的调节方法，根据偏差及偏差累积及偏差预警来调节系统控制输入，但是传统的控制算法，适用性广，因为受系统的内部约束影响较小；
• 而现代控制算法是较为主动的调节方式。但是现代控制算法的性能也依赖于本身系统的结构。

1. 经典控制理论使用传递函数来描述系统，通过构建系统的微分方程，然后经过拉式变换得到传递函数。
   经典的控制算法是将控制系统作为一个整体来研究，针对测量系统误差，经过控制器运算给定相应的控制信号。传统的控制算法有PID控制算法，模糊控制算法等。
   
2. 现代控制是采用状态方程来描述系统。状态方程描述状态向量的导数与状态向量的关系。其实就是多变量的微分方程，写成矩阵表示形式。

现代控制理论思路

状态方程稳定性分析

线性系统的状态方程:

特征值

A的特征值对应传递函数的极点。当特征值为负，则表示x的速度与x成反比，因此如果x离开平衡点，则会被牵引回平衡点，得结合相平面来理解。传递函数极点就是状态方程的特征值，用来描述状态的导数与状态之间的关系。

当特征值均非负，系统稳定。 表示状态为正时，对应的状态导数为负，则会使状态值减少，回到平衡点。

平衡点

系统的平衡点，是状态的导数为0的点，平衡点附近状态量导数均为负时，该平衡点是稳定点。

相平面

相平面就是状态量导数与状态的关系
特征值分根据正负实根分为以下部分，详细推导，可以看上方up主的视频讲解。

传统控制算法

PID算法原理概述

对偏差信号的进行计算，
比例是计算偏差的倍数，线性快速跟踪偏差。
积分是计算偏差累积，因此能够起到稳定系统的作用。
微分捕捉偏差的变化，因此能够提前预见偏差。

1.比例（P）
比例调节作用: 是按比例反应系统的偏差,系统一旦出现了偏差,比例调节立即产生调节作用用以减少偏差。比例作用大,可以加快调节,减少误差,但是过大的比例,使系统的稳定性下降,甚至造成系统的不稳定。
2.积分（I）
积分调节作用: 是使系统消除稳态误差,提高无差度。因为有误差,积分调节就进行,直至无差,积分调节停止,积分调节输出一常值…
3.微分（D）
微分作用反映系统偏差信号的变化率，具有预见性，能预见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用，在偏差还没有形成之前，已被微分调节作用消除。因此，可以改善系统的动态性能。在微分时间选择合适情况下，可以减少超调，减缓震荡。

微分作用对噪声干扰有放大作用，因此过强的加微分调节，对系统抗干扰不利。此外，微分反应的是变化率，而当输入没有变化时，微分作用输出为零。微分作用不能单独使用，需要与另外两种调节规律相结合，组成PD或PID控制器。

模糊

神经网络控制算法

现代控制算法

LQR

滑模算法利用超平面令$s=e=x-x_d$，来将系统稳态迁移到$x_d$。
LQR更适合用来改变系统相应速率(系统特征值)，而滑模可以改变系统的稳态点。

自适应控制

控制器设计：

$u=\dot{x_d}+x^2{\int }_0^{t}e{x}^{2}dt+Ke$

滑模控制

原理及设计步骤分为两步：

1. 设计滑模超平面$s=\Sigma cx$
   根据系统所期望的动态特性来设计系统的切换超平面$s=\Sigma cx$，系统状态一旦到达滑模面，将以指数趋近方式达到稳定状态。
   如：$s=c_{1}x+c_2$
   
   可以看出滑模面上的状态量最终都会趋于零，而且是以指数速度趋近。
   
   
   
   
2. 设计趋近律
   设计律用来将系统状态向滑模平面上滑动，其实就是，如果状态不在滑模平面，就把它牵引到滑模平面上，从而能够保证稳定性。即如何令$s=0$的问题。
   趋近律的设计一般有：
   1)等速趋近律
   
   2)幂次趋近律
   
   3)一般趋近律
   
   4)指数趋近律
   
   其中$sgn(s)$是符号方程，$sgn(s)$是方程是用于规范s的稳态在0点，如：
   
   $s$的状态变化，跟普通的状态方程那样，使用相平面分析，$\dot{s}$与$s$偏离0状态时，会被拉回到零点，$\dot{s}$与s偏离0的方向相反。最终使$s$逐步趋近于0。
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

通过滑动模态控制器$\dot{s}=g(s)$，如$\dot{s}=\epsilon sgn(s)$使系统状态从超平面之外向切换超平面收束。系统一旦到达切换超平面，控制作用将保证系统沿切换超平面到达系统原点，这一沿切换超平面向原点滑动的过程称为滑模控制。

3. 根据设计的滑模面和趋近律计算出控制参数。
   例子：
   $$\dot{x}=f(x)+u$$
   令：$s=x\to 0$
   要使x最后趋近于0，则
   $$\dot{s}=\dot{x}=f\left(x\right)+u=-\epsilon sgn\left(x\right)$$
   得：
   $$u=-f\left(x\right)-\epsilon sgn\left(x\right)$$
   $\epsilon$一般也会选择随动非负参数，当状态量x接近稳态时，$\epsilon \to 0$，减少震荡。
   
   
   
   
   
   
   
   

注：一般在实际中，通常是使$s=e\to 0$，以约束误差为0来设计趋近律。
如：

附上其他链接控制算法整理

系统稳定性