“期望风险”，“经验风险”与“结构风险”的定义与联系

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题记

“经验风险” “期望风险” “结构风险”这几个词是在机器学习中经常碰到的几个词汇，它们分别代表什么含义？它们之间的关系是什么呢？ 曾经我以为我知道了，今天听课，又得到了一些新的相关知识。所以再汇总总结一下。网上的信息参差不齐，所以还是以比较权威的参考书为纲比较好。以下内容主要参考以下三本参考书：

[1]《机器学习（第一版）》周志华。 132页~133页。6.4节。

[2]《模式识别（第三版）》张学工。第74~75页。4.6.2节。

[3]《统计学习方法（第二版）》李航。第16~19页。1.3.2节。

其中，对于结构风险的定义，在《模式识别》中没有提到，而在《机器学习》与《统计学习方法》中又有所不同。根据个人理解，我更倾向于《机器学习》中的定义。

基础概念：

对于某个样本,其真实的标签为,我们用模型来估计, 其中是模型的参数。则：

误差(error)[1]:模型的预测输出与样本的真实标签之间的差异。

训练误差(training error)[1]:模型在训练集上的误差。个人理解，应该适用于单个样本情况和多个样本情况。

泛化误差(generalization error)[1]:模型在新样本上的误差。通常用测试误差作为对泛化误差的近似。

经验风险(empirical risk)：模型在整个训练数据集上的误差的均值。

期望风险(expected risk)：模型在所有可能出现的样本（包括训练集，测试集和其它未采集的样本）上的误差的均值。

        其中，表示所有可能出现的样本及其标签的联合概率分布。

结构风险(structural risk)：在不同的参考书中有不同的定义。

       《机器学习》书中：，是一个与模型复杂度相关的量，模型越复杂，结构风险越大。

      《统计学习方法》书中：

        个人倾向于《机器学习》中的定义。

关系：

（1） 根据大数定律，当训练样本数目N趋于无穷时，经验风险趋于期望风险。

（2）一般：

           期望风险 > 经验风险

          期望风险 < 经验风险 + 系数*结构风险   ， 这里结构风险用的《机器学习》中的定义.

        即，在有限样本下，期望风险有上界。

（3）结构风险的最小化  模型参数正则化。

        具体[2]：

期望风险的上界：

其中表示样本数目；表示模型的VC维（VC Dimension）,反映模型的复杂度。

VC维的特性：如果模型的参数, 表示包含所有训练样本的最小超球体的半径，表示样本特征的维度，则模型的VC维有上界：

分析：对于给定的样本集，，，是确定的，所以最小化结构风险，等价于最小化，即最小化。 所以，最小化结构风险等价于最小化模型参数的范数，即，模型参数的正则化。