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极坐标系和参数方程
参数方程
基本思想
参数抛物线
参数圆
参数直线
把方程 x = x 0 + a t x = x_0 +at x=x0+at, y = y 0 + b t y = y_0 +bt y=y0+bt 描绘成y = f（x）的形式
曲线的参数方程
也是我们需要掌握的内容就是把坐标方程或者图像的曲线参数化。
前定向&正定向
随着参数增加生成参数曲线的方向称为曲线的前定向或者正定向。
参数曲线的导数
设x=g(t)，y=h（t），这里的g和h在区间[a，b]上可导，则当 d y d x ≠ 0 \frac{dy}{dx} \ne 0{} dxdy=0时，
d y d x = d y / d t d x / d t = h ′ ( t ) g ′ ( t ) \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{h'(t)}{g'(t)} dxdy=dx/dtdy/dt=g′(t)h′(t)
如此，假设一个参数方程的参数为t，那我们就可以通过上公式求出此参数方程在t处的导数。
极坐标
在极坐标系中，原点称为极点，x-称为极轴，例如下图点p的极坐标形式为（r， θ \theta θ ）,径向坐标r表示从原点到p点的距离，角坐标 θ \theta θ表示始边为正x-轴，终点为过原地和p的射线之间的夹角。
直角坐标与极坐标的转换
有如下规则
若极坐标为（r， θ \theta θ）则其直角坐标为（x，y），其中
x = r c o s θ 和 y = r s i n θ x = r cos\theta 和 y = r sin \theta x=rcosθ和y=rsinθ
若直角坐标为（x，y），则其极坐标为（r， θ \theta θ）,其中
r 2 = x 2 + y 2 和 t a n θ = y x r^2 = x^2 +y^2 和 tan\theta=\frac{y}{x} r2=x2+y2和tanθ=xy
通过如上公式，可以将直角坐标和极坐标进行相互转换。
极坐标方程的对称性
1.关于x-轴对称，如果点（r， θ \theta θ）在图像上，则点（r，- θ \theta θ）也在图像上。
2.关于y-轴对称，如果点（r， θ \theta θ）在图像上，则点（r， π − θ \pi – \theta π−θ）=(-r,- θ \theta θ)也在图像上。
3关于原点对称，如果说点（r， θ \theta θ）在图像上，则点（-r, θ \theta θ）=(r, θ \theta θ+ π \pi π)也在图像上
极坐标微积分
切线的斜率
在极坐标中，我们可以把极坐标r=f（ θ \theta θ），写成以 θ \theta θ的参数形式：
极坐标所围区域的面积
设R是由两条曲线 r = f ( θ ) r=f(\theta) r=f(θ)和 r = g ( θ ) r=g(\theta) r=g(θ)在 θ \theta θ= α \alpha α和 θ \theta θ= β \beta β之间所围成的区域。其中f和g在[ α \alpha α, β \beta β]上是连续的，并且 f ( θ ) ≥ g ( θ ) ≥ 0 f(\theta)\ge g(\theta) \ge 0 f(θ)≥g(θ)≥0,则R的面积为
∫ α β 1 2 ( f ( θ ) 2 − g ( θ ) 2 ) d θ \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}(f(\theta)^2-g(\theta)^2)d\theta ∫αβ21(f(θ)2−g(θ)2)dθ
1.我们首先观察它的对称性
其既关于x-对称也关于y-对称
2.我们可以按一部分进行运算
我们可以先计算半片叶子的面积然后乘八从而计算出它的总面积。
圆锥曲线
抛物线
抛物线是平面上到一定点（焦点）与到一定直线（称为准线）等距的点的集合。
四种标准抛物线方程
设p为实数，以（0，p）为焦点，y=-p为准线的抛物线关于y-轴对称且其为 x 2 = 4 p y x^2=4py x2=4py。如果p>0.则抛物线开口向上；如果p<0,则抛物线开口向下。
以（p，0）为焦点，x=-p为准线关于x-轴对称且其方程为 y 2 = 4 p y y^2=4py y2=4py,如果p>0,则抛物线开口朝右。如果p<0则抛物线开口向左。
经常地，我们会收到一个顶点和开口的方向，还有一个其所经过的点的抛物线方程。
椭圆
椭圆上有两个焦点，其中椭圆上所有的与两焦点的距离和都相等。
标准椭圆方程
中心在原点，焦点在（ ± c \pm c ±c,0）处，顶点在（ ± a \pm a ±a，0）处的椭圆方程是
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , 其中 a 2 = b 2 + c 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中a^2=b^2+c^2 a2x2+b2y2=1,其中a2=b2+c2
中心在原点，焦点在（0， ± c \pm c ±c）处，顶点在（0， ± a \pm a ±a）处的椭圆方程是
y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 ，其中 a 2 = b 2 + c 2 \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1，其中a^2=b^2+c^2 a2y2+b2x2=1，其中a2=b2+c2
两种情况下都有a>b>0和a>c>0,长轴为2a，短轴为2b。
双曲线
标准双曲线方程
中心在原点，焦点在（ ± x \pm x ±x,0）处，顶点在（ ± a \pm a ±a,0）处的双曲线方程是
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , 其中 b 2 = c 2 − a 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2-a^2 a2x2+b2y2=1,其中b2=c2−a2
该双曲线的渐近线是 y = ± b x / a y=\pm bx/a y=±bx/a
中心在原点，焦点在（0， ± c \pm c ±c）处，顶点在（0， ± a \pm a ±a）处的双曲线方程是
y 2 a 2 − x 2 b 2 = 1 , 其中 b 2 = c 2 + a 2 \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2+a^2 a2y2−b2x2=1,其中b2=c2+a2
该双曲线的渐近线是 y = ± a x / b y=\pm ax/b y=±ax/b
两种情况都有c>a>0和c>b>0.
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , 其中 b 2 = c 2 − a 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2-a^2 a2x2+b2y2=1,其中b2=c2−a2
该双曲线的渐近线是 y = ± b x / a y=\pm bx/a y=±bx/a
中心在原点，焦点在（0， ± c \pm c ±c）处，顶点在（0， ± a \pm a ±a）处的双曲线方程是
y 2 a 2 − x 2 b 2 = 1 , 其中 b 2 = c 2 + a 2 \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2+a^2 a2y2−b2x2=1,其中b2=c2+a2
该双曲线的渐近线是 y = ± a x / b y=\pm ax/b y=±ax/b
两种情况都有c>a>0和c>b>0.
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