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索引
数列极限
数列极限的定义
定义1.1 邻域
实数轴上的点 x 0 x_{0} x0附近的开区间 U ( x 0 , δ ) = ( x 0 − δ , x 0 + δ ) U\left ( x_{0},\delta \right )=\left ( x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right ) U(x0,δ)=(x0−δ,x0+δ)称为 x 0 x_{0} x0的邻域,若不包含 x 0 x_{0} x0,则称为去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) = ( x 0 , δ ) − { x 0 } \mathring{U}\left ( x_{0},\delta \right )=\left ( x_{0},\delta \right )-\left \{ x_{0} \right \} U˚(x0,δ)=(x0,δ)−{
x0}。
定义1.2 数列极限
{ x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}是一串实数组成的序列,下标n代表实数在序列中的位置,也可看做从正整数集到实数的特殊函数,若满足:
∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, ∃ N \exists N ∃N: ∀ n > N \forall n> N ∀n>N, ∣ x n − A ∣ < ε \left | x_{n} – A\right | < \varepsilon ∣xn−A∣<ε
则称为数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}以实数 A A A为极限,或数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}收敛于极限 A A A,符号化表述为 lim n → ∞ x n = A \lim_{n\to \infty } x_{n} =A limn→∞xn=A或 x n → A ( n → ∞ ) x_{n}\to A ( n\to \infty ) xn→A(n→∞)。
几何解释:给定 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,总能找到正整数 N N N,使得从第 N N N项起,其后的无穷多项 x n x_{n} xn都落在开区间 ( A − ε , A + ε ) \left ( A-\varepsilon ,A+\varepsilon \right ) (A−ε,A+ε)内。由于条件中 ε \varepsilon ε可以是任意小的正实数,所以 x n x_{n} xn能无限趋近于极限 A A A。
定义1.3 无穷小量
极限为0的数列称为无穷小量。
定理1.1
数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}以 A A A为极限当且仅当数列 { x n − A } \left \{ x_{n} -A \right \} {
xn−A}以 0 0 0为极限。
数列极限的性质
定理1.2 数列极限的唯一性
若 lim n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_{n}=A limn→∞xn=A, lim n → ∞ x n = B \lim_{n \to \infty} x_{n}=B limn→∞xn=B,则 A = B A=B A=B。
由极限定义, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, ∃ N 1 \exists N_{1} ∃N1: ∀ n > N 1 \forall n> N_{1} ∀n>N1, ∣ x n − A ∣ < ε 2 \left | x_{n} – A \right | < \frac{\varepsilon }{2} ∣xn−A∣<2ε,
同理, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, ∃ N 2 \exists N_{2} ∃N2: ∀ n > N 2 \forall n> N_{2} ∀n>N2, ∣ x n − B ∣ < ε 2 \left | x_{n} – B\right | < \frac{\varepsilon }{2} ∣xn−B∣<2ε。
取 N = max { N 1 , N 2 } N=\max \left \{ N_{1},N_{2} \right \} N=max{
N1,N2},则以上结论均成立,根据三角不等式有:
∣ A − B ∣ < ∣ A − x n ∣ + ∣ x n − B ∣ < ε 2 + ε 2 = ε \left | A-B \right |< \left | A -x_{n} \right |+\left | x_{n} -B \right | < \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon ∣A−B∣<∣A−xn∣+∣xn−B∣<2ε+2ε=ε
由于 ε \varepsilon ε是任意小的正实数,所以只有当 A = B A=B A=B时不等式才恒成立。
定理1.3 数列极限的有界性
收敛于有限实数的数列必有界。
取 ε \varepsilon ε为定值 ε 0 > 0 \varepsilon _{0}> 0 ε0>0,根据极限定义有 ∀ n > N \forall n> N ∀n>N, ∣ x n − A ∣ < ε ⇒ ∀ n > N \left | x_{n} – A \right | < \varepsilon \Rightarrow \forall n> N ∣xn−A∣<ε⇒∀n>N, x n < A + ε 0 x_{n}< A+\varepsilon _{0} xn<A+ε0,
可知数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}存在最大数 M = max { x 1 , x 2 , … , x N , A + ε 0 } M=\max \left \{ x_{1},x_{2},\dots ,x_{N},A+\varepsilon _{0} \right \} M=max{
x1,x2,…,xN,A+ε0},也就是 ∣ x n ∣ < ∣ M ∣ \left | x_{n} \right | < \left | M \right | ∣xn∣<∣M∣,即数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {
xn}有界。
定理1.4 数列极限的保序性
若 A < B A<B A<B, lim n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_{n}=A limn→∞xn=A, lim n → ∞ y n = B \lim_{n \to \infty} y_{n}=B limn→∞yn=B,则 ∃ N \exists N ∃N: ∀ n > N \forall n> N ∀n>N, x n < y n x_{n}<y_{n} xn<yn。
由极限定义, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, ∃ N 1 \exists N_{1} ∃N1: ∀ n > N 1 \forall n> N_{1} ∀n>N1, ∣ x n − A ∣ < ε \left | x_{n} – A \right | < \varepsilon ∣xn−A∣<ε,
同理, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, ∃ N 2 \exists N_{2} ∃N2: ∀ n > N 2 \forall n> N_{2} ∀n>N2, ∣ y n − B ∣ < ε \left | y_{n} – B\right | < \varepsilon ∣yn−B∣<ε。
令 N = max { N 1 , N 2 } N=\max \left \{ N_{1},N_{2} \right \} N=max{
N1,N2},同时令 ε = B − A 2 \varepsilon = \frac{B-A}{2} ε=2B−A,使得:
A − ε < x n < A + ε = B + A 2 = B − ε < y n < B + ε A-\varepsilon <x_{n}<A+ \varepsilon = \frac{B+A}{2}=B-\varepsilon <y_{n}<B+\varepsilon A−ε<xn<A+ε=2B+A=B−ε<yn<B+ε
即 x n < y n x_{n}<y_{n} xn<yn。
定理1.5 数列极限的保号性
若 x n ≤ y n x_{n} \le y_{n} xn≤yn, lim n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_{n}=A limn→∞xn=A, lim n → ∞ y n = B \lim_{n \to \infty} y_{n}=B limn→∞yn=B,则 A ≤ B A \le B A≤B。
反证法,设 x n ≤ y n x_{n} \le y_{n} xn≤yn, lim n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_{n}=A limn→∞xn=A, lim n → ∞ y n = B \lim_{n \to \infty} y_{n}=B limn→∞yn=B推出 A > B A>B A>B,
由数列极限的保序性, x n > y n x_{n} > y_{n} xn>yn,与条件矛盾,假设不成立。
定理1.6 数列极限的四则运算
lim n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_{n}=A limn→∞xn=A, lim n → ∞ y n = B \lim_{n \to \infty} y_{n}=B limn→∞yn=B,以下结论成立:
(1) lim n → ∞ ( x n ± y n ) = lim n → ∞ x n ± lim n → ∞ y n = A ± B \lim_{n \to \infty} \left ( x_{n} \pm y_{n} \right ) =\lim _{n\to \infty } x_{n} \pm \lim _{n\to \infty } y_{n} =A\pm B limn→∞(xn±yn)=limn→∞xn±limn→∞yn=A±B
(2) lim n → ∞ ( x n ⋅ y n ) = lim n → ∞ x n ⋅ lim n → ∞ y n = A ⋅ B \lim_{n \to \infty} \left ( x_{n} \cdot y_{n} \right ) =\lim _{n\to \infty } x_{n} \cdot \lim _{n\to \infty } y_{n} =A\cdot B limn→∞(xn⋅yn)=limn→∞xn⋅limn→∞yn=A⋅B
(3) lim n → ∞ ( x n y n ) = lim n → ∞ x n lim n → ∞ y n = A B ( B ≠ 0 ) \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{x_{n} }{y_{n} } \right ) =\frac{\lim _{n\to \infty } x_{n}}{\lim _{n\to \infty } y_{n} } =\frac{A}{B}(B\neq 0) limn→∞(ynxn)=limn→∞ynlimn→∞xn=BA(B=0)
定理1.7 数列极限的迫敛性
若 lim n → ∞ x n = lim n → ∞ z n = A \lim_{n \to \infty} x_{n} =\lim_{n \to \infty} z_{n} =A limn→∞xn=limn→∞zn=A,又有 x n ≤ y n ≤ z n x_{n} \le y_{n} \le z_{n} xn≤yn≤zn,则 lim n → ∞ y n = A \lim_{n \to \infty} y_{n}=A limn→∞yn=A。
根据极限定义, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0, ∃ N \exists N ∃N: ∀ n > N \forall n>N ∀n>N, ∣ x n − A ∣ < ε ⇒ A − ε < x n \left | x_{n} -A \right | < \varepsilon \Rightarrow A-\varepsilon <x_{n} ∣xn−A∣<ε⇒A−ε<xn,
同理 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0, ∃ N \exists N ∃N: ∀ n > N \forall n>N ∀n>N, ∣ z n − A ∣ < ε ⇒ z n < A + ε \left | z_{n} -A \right | < \varepsilon \Rightarrow z_{n} < A+\varepsilon ∣zn−A∣<ε⇒zn<A+ε。
根据数列极限的有界性, A − ε < x n ≤ y n ≤ z n < A + ε A-\varepsilon <x_{n} \le y_{n} \le z_{n} < A+\varepsilon A−ε<xn≤yn≤zn<A+ε, y n y_{n} yn的极限也是 A A A。
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