数值分析学习笔记_IT分享知识网

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6.2.3 雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代收敛性

第 1 章数值分析与科学计算引论

1.1 数值分析的对象、作用与特点

1.2 数值计算的误差

1.3 误差定性分析与避免误差危害

1.4 数值计算中算法设计的技术

第 2 章插值法

2.1 引言

2.2 拉格朗日插值

2.2.1 线性插值与抛物线插值

取 n=1，即一阶多项式

点斜式： $L_1(x)=y_k+\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}(x-x_k)$

两点式： $L_1(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}y_k+\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}y_{k+1}$

由两点式看出 L_1(x) 是由两个线性函数

$l_k(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}},l_{k+1}=\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}$

线性组合得到的，其系数分别为 y_k 及 $y_{k+1}$ ，即

$L_1(x)=y_kl_k(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)$

2.2.2 拉格朗日插值多项式

n 次插值基函数：若 n 次多项式 $l_j(x)(j=0,1,\cdots,n)$ 在 n+1 个节点 $x_0<x_1<\cdots<x_n$ 上满足条件

$l_j(x_k)=\begin{cases} 1 & , k=j \\ 0 & , k\neq j \end{cases},j,k=0,1,\cdots,n$

就称这 n+1 个 n 次多项式 $l_0(x),l_1(x),\cdots,l_n(x)$ 为节点 $x_0,x_1,\cdots,x_n$ 上的 n 次插值基函数

$l_k(x)=\dfrac{(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n)}{(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k-1})\cdots(x_k-x_n)},\\k=0,1,\cdots,n$

所以有

$L_n(x)=\sum\limits^n_{k=1}y_kl_k(x)$

2.2.3 插值余项与误差估计

2.3 均差与牛顿插值多项式

2.3.1 插值多项式的逐次生成

先考察n=1的情形，此时线性插值多项式记为P(x)，它满足条件，用点斜式表示为

$P_1(x)=f(x_0)+\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$

它可看成是零次插值的修正，即

其中 $a_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ 是函数 f(x) 的差商

再考察三个节点的二次插值 P_2(x) ，它满足条件

可表示为

显然它满足条件及。令，则得

$a_2=\dfrac{P_2(x_2)-P_1(x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\dfrac{\dfrac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}-\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_1}$

系数 a_2 是函数 f 的“差商的差商”

一般情形已知 f 在插值点 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$ 上的值为 $f(x_i)(i=0,1,\cdots,n)$ ，要求 n 次插值多项式 P_n(x) 满足条件

$P_n(x_i)=f(x_i),i=0,1,\cdots,n$

则 P_n(x) 可表示为

$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)\cdots (x-x_n)$

其中 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 为待定系数，可由上述条件确定。

与拉格朗日插值不同，这里的 P_n(x) 是由基函数 $\{1,x-x_0,\cdots,(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})\}$ 逐次递推得到的。

为了给出系数 $a_i(i=0,1,\cdots,n)$ 的表达式，需引进均差(即差商)的定义.

2.3.2 均差及其性质

2.3.3 牛顿插值多项式

2.3.4 差分形式的牛顿插值公式

2.4 埃尔米特插值

插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。

2.4.1 重节点均差与泰勒插值

定理：设 $f\in C^n[a,b],x_0,x_1,\cdots,x_n$ 为[a,b]上的相异节点，则 $f[x_0,x_1,\cdots,x_n]$ 是其变量的连续函数。

如果[a,b]上的节点互异，根据均差定义，若 $f\in C^1[a,b]$ ，则有

$\lim\limits_{x\to x_0}f[x_0,x]=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$

由此定义重节点均差

$f[x_0,x_0]=\lim\limits_{x\to x_0}f[x_0,x]=f'(x_0)$

类似地可定义重节点的二阶均差，当 $x_1\neq x_0$ 时，有

$f[x_0,x_0,x_1]=\dfrac{f[x_0,x_1]-f[x_0,x_0]}{x_1-x_0}$

当 $x_1\rightarrow x_0$ 时，有

$f[x_0,x_0,x_0]=\lim\limits_{x_1\to x_0 , x_2\to x_0}f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{1}{2}f''(x_0)$

一般地，可定义 n 阶重节点的均差

$f[x_0,x_0,\cdots,x_0]=\lim\limits_{x_i\to x_0}f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$

泰勒插值多项式

$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

2.4.2 两个典型的埃尔米特插值

2.5 分段低次插值

2.6 三次样条插值

第 3 章函数逼近与快速傅里叶变换

3.1 函数逼近的基本概念

3.2 正交多项式

3.2.1 正交函数族与正交多项式

若 $f(x),g(x)\in C[a,b],\rho(x)$ 为 [a,b] 上的权函数且满足

$(f(x),g(x))=\int^b_a\rho(x)f(x)g(x)dx=0$

则称 f(x) 与 g(x) 在 [a,b] 上带权 $\rho(x)$ 正交

若函数族 $\varphi _0(x),\varphi _1(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots$ 满足关系

0 & , j=k \end{cases}” />

则称 $\{\varphi_k(x)\}$ 是 [a,b]上带权 $\rho(x)$ 的正交函数族；

若 $A_k\equiv 1$ ，则称为标准正交函数族

设 $\varphi_n(x)$ 是 [a,b] 上首项系数 $a_n\neq 0$ 的 n 次多项式， $\rho(x)$ 为 [a,b] 上的权函数，如果多项式序列 $\{\varphi_n(x)\}^\infty_0$ 满足上式，则称多项式序列 $\{\varphi_n(x)\}^\infty_0$ 在 [a,b] 上带权 $\rho(x)$ 正交，称 $\varphi_n(x)$ 为 [a,b] 上带权 $\rho(x)$ 的 n 次正交多项式

定理：设 $\{\varphi_n(x)\}^\infty_0$ 是 [a,b] 上带权 $\rho(x)$ 的正交多项式，则 $\varphi_n(x)(n\ge 1)$ 在区间 (a,b) 内有 n 个不同的零点

3.2.2 勒让德多项式

当区间为 [-1,1]，权函数 $\rho(x)\equiv 1$ 时，由 $\{1,x,\cdots,x^n,\cdots\}$ 正交化得到的多项式称为勒让德多项式，并用 $P_0(x),P_1(x),\cdots,P_n(x),\cdots$ 表示，勒让德多项式的简单表达式

由于是 2n 次多项式，求 n 阶导数后得

于是得首项 x^n 的系数 $a_n=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ ，显然最高项系数为 1 的勒让德多项式为

勒让德多项式有下述几个重要性质：

正交性

奇偶性

由于 $\varphi(x)=(x^2-1)^n$ 是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导仍为奇次多项式，故 n 为偶数时， P_n(x) 为偶函数，n 为奇数时， P_n(x) 为奇函数

递推关系

零点

P_n(x) 在区间 [-1,1] 内有 n 个不同的实零点

3.2.3 切比雪夫多项式

当权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ，区间为 [-1,1] 时，由序列 $\{1,x,\cdots,x^n,\cdots\}$ 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫多项式，它可以表示为

若令 $x=cos\theta$ ，则 $T_n(x)=cos(n\theta),0\le\theta\le\pi$

递推关系

$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),n=1,2,\cdots\\ T_0(x)=1,T_1(x)=x$

正交

切比雪夫多项式 $\{T_k(x)\}$ 在区间 [-1,1] 上带权 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 正交，且

令 $x=cos\theta$ ，则 $dx=-sin\theta d\theta$ ，于是

奇偶性

$T_{2k}(x)$ 只含 x 的偶次幂， $T_{2k+1}(x)$ 只含 x 的奇次幂

零点

T_n(x) 在区间 [-1,1] 上有 n 个零点

$x_k=\cos \dfrac{2k-1}{2n}\pi,k=1,2,\cdots,n$

首项系数

T_n(x) 的首项 x^n 的系数为 $2^{n-1}(n=1,2,\cdots)$

3.2.4 切比雪夫多项式零点插值

3.2.5 其他常用的正交多项式

3.3 最佳平方逼近

3.4 曲线拟合的最小二乘法

3.5 有理逼近

3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换

第 4 章数值积分与数值微分

4.1 数值积分概论

4.1.1 数值积分的基本思想

由积分中值定理

$\int^b_af(x)dx=(b-a)f(\xi )$

我们将 $f(\xi)$ 称为区间 [a,b] 上的平均高度。这样，只要对平均高度 $f(\xi)$ 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.

梯形公式，用端点的算术平均值作为平均高度

$\int^b_af(x)dx\approx\dfrac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$

中矩阵公式，用区间中点近似取代平均高度

$\int^b_af(x)dx\approx(b-a)f(\dfrac{a+b}{2})$

更一般地，我们可以在区间 [a,b] 上适当选取某些节点 x_k ，然后用 f(x) 的加权平均得到平均高度 $f(\xi)$ 的近似值

$\int^b_af(x)dx\approx\sum\limits^n_{k=0}A_kf(x_k)$

x_k 称为求积节点； A_k 称为求积系数，亦称伴随节点 x_k 的权。权 A_k 仅仅与节点 x_k 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x) 的具体形式.

4.1.2 代数精度的概念

如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度(或代数精确度).

4.1.3 插值型的求积公式

作为积分 $I=\int ^b_af(x)dx$ 的近似值，这样构造出的插值型求积公式

$I_n=\sum\limits^n_{k=0}A_kf(x_k)$

式中求积系数 A_k 通过插值基函数 l_k(x) 积分得出，即

$A_k=\int^b_al_k(x)dx,k=0,1,\cdots,n$

4.1.4 求积公式的余项

4.1.5 求积公式的收敛性与稳定性

4.2 牛顿-柯特斯公式

4.2.1 柯特斯系数与辛普森公式

牛顿-柯特斯公式，将积分区间 [a,b] 划分为 n 等份，步长 $h=\frac{b-a}{n}$ ，选取等距节点

$I_n=(b-a)\sum\limits^n_{k=0}C^{(n)}_kf(x_k)$

式中 $C_k^{(n)}$ 称为柯特斯系数

当 n=1

$C_0^{(1)}=C_1^{(1)}=\dfrac{1}{2}$

当 n=2

相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式：

$S=\dfrac{b-a}{6}[f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)]$

当 n=4，有柯特斯公式

$C=\dfrac{b-a}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)]$

这里 $x_k=a+kh,h=\frac{b-a}{4}$

4.3 复合求积公式

4.3.1 复合梯形公式

将区间 [a,b] 划分为 n 等份，分点 $x_k=a+kh,h=\frac{b-a}{n},k=0,1,\cdots,n$ ，在每个子区间 $[x_k,x_{k+1}](k=0,1,\cdots,n-1)$ 上采用梯形公式，则得

得复合梯形公式（不要余项）

$T_n=\dfrac{h}{2}\sum\limits^{n-1}_{k=0}[f(x_k)+f(x_{k+1})]=\dfrac{h}{2}[f(a)+2\sum\limits^{n-1}_{k=1}f(x_k)+f(b)]$

4.3.2 复合辛普森求积公式

将区间 [a,b] 划分为 n 等份，在每个子区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 上采用辛普森公式，若记 $x_{k+1/2}=x_k+\frac{1}{2}h$ ，则得

得复合辛普森求积公式 （不要余项）

4.4 龙贝格求积公式

4.4.1 梯形公式的递推化

用复合梯形公式求得子区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 上的积分值为

$\dfrac{h}{4}[f(x_k)+2f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$

把每个子区间上的积分值相加得

$T_{2n}=\dfrac{h}{4}\sum\limits^{n-1}_{k=0}[f(x_k)+f(x_{k+1})]+\dfrac{h}{2}\sum\limits^{n-1}_{k=0}f(x_{k+\frac{1}{2}})$

进而得到下面梯形递推公式

$T_{2n}=\dfrac{1}{2}T_n+\dfrac{h}{2}\sum\limits^{n-1}_{k=0}f(x_{k+\frac{1}{2}})$

其中 $T_n=\sum\limits^{n-1}_{k=0} [f(x_k)+f(x_{k+1})]$ ，是梯形公式而不是复合梯形公式

4.4.2 外推技巧

由梯形公式，当 [a,b] 分为 n 等份时有

若记，当区间 [a,b] 分为 2n 等份时，则有 $T_{2n}=T(\frac{h}{2})$ ，并且有

设 $f(x)\in C^\infty[a,b]$ ，则有

$T(h)=I+\alpha_1h^2+\alpha_2h^4+\cdots+\alpha_lh^{2l}+\cdots$

其中系数 $\alpha_l(l=1,2,\cdots)$ 与 h 无关，代入 $\frac{h}{2}$ 得

$T(\dfrac{h}{2})=I=\alpha_1\dfrac{h^2}{4}+\alpha_2\dfrac{h^4}{16}+\cdots+\alpha_l(\dfrac{h}{2})^{2l}+\cdots$

结合上两条式子得到

这里 $\beta_1,\beta_2,\cdots$ 是与 h 无关的系数，用 S(h) 近似积分值 I，其误差阶为 O(h^4) ，这比复合梯形公式的误差阶 O(h^2) 提高了，容易看到，即将 [a,b] 分为 n 等份得到的复合辛普森公式

这种将计算 I 的近似值的误差阶由 O(h^2) 提高到 O(h^4) 的方法称为外推算法，也称为理查森外推算法，只要真值与近似值的误差能表示成 h 的幂级数，都可使用外推算法，提高精度.

同理有

$S(\dfrac{h}{2})=I+\beta_1(\dfrac{h}{2})^4+\beta_2(\dfrac{h}{2})^6+\cdots$

记，得

同理有

$R(h)=\dfrac{1}{63}[64C(\dfrac{h}{2})-C(h)]$

4.4.3 龙贝格算法

记等，从而可将上述公式写成统一形式

经过 m(m=1,2,…) 次加速后，余项便取下列形式：

上述处理方法通常称为理查森外推加速方法

龙贝格求积算法，设 $T_0^{(k)}$ 表示二分 k 次后求得的梯形值，且以 $T_m^{(k)}$ 表示序列 $\{T_0^{(k)}\}$ 的m次加速值

计算过程如下：

(1) 取，求 $T_0^{(0)}=\frac{h}{2}[f(a)+f(b)]$

令 $1\rightarrow k$ （k 记为区间 [a,b] 的二分次数）

(2) 求梯形值 $T_0(\frac{b-a}{2^k})$ ，即按递推公式计算 $T_0^{(k)}$

(3) 求加速值，逐个求出下面 T 表的第 k 行其余个元素 $T_j^{k-j}(j=1,2,\cdots,k)$

(4) 若 $|T_k^{(0)}-T_{k-1}^{(0)}|<\varepsilon$ （预先给定的精度），则终止计算，并取 $T_k^{(0)}\approx I$ ；否则令 $k+1\rightarrow k$ ，转 (2) 继续计算

同一行的下标与上标之和固定，元素由左边及左上角的元素得出

4.5 自适应积分方法

4.6 高斯求积公式

4.6.1 一般理论

机械求积公式

含有 2n+2 个待定参数 $x_k,A_k(k=0,1,\cdots,n)$ 。当 x_k 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 n 次，如果适当选取 $x_k(k=0,1,\cdots,n)$ ，有可能使求积公式具有 2n+1 次代数精度.

下面研究带权积分 $I=\int_{a}^{b}f(x)\rho(x)dx$ ，这里 $\rho(x)$ 为权函数，其求积公式为

$A_k(k=0,1,\cdots,n)$ 为不依赖于 f(x) 的求积系数， $x_k(k=0,1,\cdots,n)$ 为求积节点，可适当选取 x_k 及 $A_k(k=0,1,\cdots,n)$ 使上式具有 2n+1 次代数精度

如果该求积公式具有 2n+1 次代数精度，则称其节点 $x_k(k=0,1,\cdots,n)$ 为高斯点相应的公式称为高斯型求积公式

根据定义要使上式具有 2n+1 次代数精度，只要取，对 m=0,1,…,2n+1，上式精确成立，则得

当给定权函数 $\rho(x)$ ，求出右端积分，则可由上式解得 A_k 及 $x_k(k=0,1,\cdots,n)$

定理：插值型求积公式的节点 $a\le x_0<x_1<\cdots<x_n\le b$ 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式

与任何次数不超过 n 的多项式 p(x) 带权 $\rho(x)$ 正交，即

4.6.2 高斯-勒让德求积公式

在高斯求积公式中取权函数 $\rho(x)=1$ ，区间为 [-1,1]，则得高斯-勒让德求积公式

勒让德多项式是区间 [-1,1]上的正交多项式，因此勒让德多项式 $P_{n+1}(x)$ 的零点就是上述求积公式的高斯点

4.6.3 高斯-切比雪夫求积公式

4.6.4 无穷区间的高斯型求积公式

4.7 多重积分

4.8 数值微分

第 5 章解线性方程组的直接方法

5.1 引言与预备知识

5.2 高斯消去法

5.2.1 高斯消去法

举个例子说明消去法的基本思想

通过行变换得到与原方程组等价的三角形线性方程组

5.2.2 矩阵的三角分解

由于对矩阵进行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘该矩阵，故消去法的第一步可表示为

其中

即用第 1 行处理后面的行，注意 m 前面都有 – 号

第 k 步消去法可表示为

其中

即用第 k 行处理后面的行

可将上述所有步结合到一起得到

将上面的三角矩阵 $A^{(n)}$ 记为 U，得到

其中

为单位下三角矩阵，此为 LU 分解

5.2.3 列主元消去法

5.3 矩阵三角分解法

5.3.1 直接三角分解法

5.3.2 平方根法

5.3.3 追赶法

5.4 向量和矩阵的范数

5.5 误差分析

第 6 章解线性方程组的迭代法

6.1 迭代法的基本概念

6.1.1 引言

举个例子，求解线性方程组

记为 Ax=b，其中

此方程组的精确解是，现将线性方程组改写为

或写为，其中

任取初始值，例如取 $x^{(0)}=(0,0,0)^T$ ，将这些值代入上述方程组右边，（若为等式即得到此方程组的解），得到新的值 $x^{(1)}=(x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)})^T=(2.5,3,3)^T$ ，再将 $x^{(1)}$ 分量再代入上述方程组得到 $x^{(2)}$ ，反复利用这个计算程序，得到一向量序列和一般的计算公式（迭代公式）

简写为

这就是迭代法

6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

6.2.1 雅可比迭代法

将线性方程组中的系数矩阵 $A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 分成三部分

设 $a_{ij}\neq 0(i=1,2,\cdots,n)$ ，选取 M 为 A 的对角元素部分，即选取 M=D（对角矩阵），A=D-N，得到解 Ax=b 的雅可比迭代法

其中 $B=I-D^{-1}A=D^{-1}(L+U)\equiv J,f=D^{-1}b$ ，称 J 为解 Ax=b 的雅可比迭代法的迭代矩阵

下面给出雅可比迭代法的分量计算公式，记 $x^{(k)}=(x_1^{(k)},\cdots,x_i^{(k)},\cdots,x_n^{(k)})^T$

由雅可比公式有

或

于是解 Ax=b 的雅可比迭代法的计算公式为

6.2.2 高斯-塞德尔迭代法

选取分裂矩阵 M 为 A 的下三角部分，即选取 M=D-L （下三角矩阵），A=M-N，于是得到解 Ax=b 的高斯-塞德尔迭代法

其中 $B=I-(D-L)^{-1}A=(D-L)^{-1}U\equiv G,f=(D-L)^{-1}b$ ，称 $G=(D-L)^{-1}U$ 为解 Ax=b 的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵

6.2.3 雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代收敛性

6.3 超松弛迭代法

6.4 共轭梯度法

第 7 章非线性方程与方程组的数值解法

7.1 方程求根与二分法

7.2 不动点迭代法及其收敛性

7.3 迭代收敛的加速方法

7.4 牛顿法

7.5 弦截法与抛物线法

7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点

7.7 非线性方程的数值解法

第 8 章矩阵特征值计算

8.1 特征值性质和估计

8.2 幂法及反幂法

8.3 正交变换与矩阵分解

8.4 QR方法

第 9 章常微分方程初值问题数值解法

9.1 引言

如果存在实数 L>0，使得

则称 f 关于 y 满足 Lipschitz 条件，L 称为 f 的 Lipschitz 常数.

定理：设 f 在区域 $D=\{(x,y)|a \le x\le b,y\in \mathbb{R}\}$ 上连续，关于 y 满足利普希茨条件，则对任意 $x_0\in[a,b],y_0\in \mathbb{R}$ ，常微分方程初值问题

当 x∈[a,b] 时存在唯一的连续可微解 y(x)

即导数满足 Lipschitz 条件就存在唯一解

9.2 简单的数值方法

9.2.1 欧拉法与后退欧拉法

后退欧拉法也称为隐式欧拉法，用右矩形公式 $hf(x_{n+1},y(x_{n+1}))$ 近似，则得

9.2.2 梯形方法

取平均斜率

梯形法的迭代公式为

9.2.3 改进欧拉公式

即把欧拉法的结果代入梯形方法

或表示为下列平均化形式

9.2.4 单步法的局部截断误差与阶

9.3 龙格-库塔方法

9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式

基于改进欧拉法，用高阶级数逼近积分

得 r 级显式龙格-库塔法（简称 R-K 法）

其中

9.3.2 二阶显式 R-K 方法

9.3.3 三阶与四阶显式 R-K 方法

9.3.4 变步长的龙格-库塔方法

9.4 单步法的收敛性与稳定性

9.5 线性多步法

9.6 线性多步法的收敛性与稳定性

9.7 一阶方程组与刚性方程组

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数值分析学习笔记

第 1 章 数值分析与科学计算引论

1.1 数值分析的对象、作用与特点

1.2 数值计算的误差

1.3 误差定性分析与避免误差危害

1.4 数值计算中算法设计的技术

第 2 章 插值法

2.1 引言

2.2 拉格朗日插值

2.2.1 线性插值与抛物线插值

2.2.2 拉格朗日插值多项式

2.2.3 插值余项与误差估计

2.3 均差与牛顿插值多项式

2.3.1 插值多项式的逐次生成

2.3.2 均差及其性质

2.3.3 牛顿插值多项式

2.3.4 差分形式的牛顿插值公式

2.4 埃尔米特插值

2.4.1 重节点均差与泰勒插值

2.4.2 两个典型的埃尔米特插值

2.5 分段低次插值

2.6 三次样条插值

第 3 章 函数逼近与快速傅里叶变换

3.1 函数逼近的基本概念

3.2 正交多项式

3.2.1 正交函数族与正交多项式

3.2.2 勒让德多项式

3.2.3 切比雪夫多项式

3.2.4 切比雪夫多项式零点插值

3.2.5 其他常用的正交多项式

3.3 最佳平方逼近

3.4 曲线拟合的最小二乘法

3.5 有理逼近

3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换

第 4 章 数值积分与数值微分

4.1 数值积分概论

4.1.1 数值积分的基本思想

4.1.2 代数精度的概念

4.1.3 插值型的求积公式

4.1.4 求积公式的余项

4.1.5 求积公式的收敛性与稳定性

4.2 牛顿-柯特斯公式

4.2.1 柯特斯系数与辛普森公式

4.3 复合求积公式

4.3.1 复合梯形公式

4.3.2 复合辛普森求积公式

4.4 龙贝格求积公式

4.4.1 梯形公式的递推化

4.4.2 外推技巧

4.4.3 龙贝格算法

4.5 自适应积分方法

4.6 高斯求积公式

4.6.1 一般理论

4.6.2 高斯-勒让德求积公式

4.6.3 高斯-切比雪夫求积公式

4.6.4 无穷区间的高斯型求积公式

4.7 多重积分

4.8 数值微分

第 5 章 解线性方程组的直接方法

5.1 引言与预备知识

5.2 高斯消去法

5.2.1 高斯消去法

5.2.2 矩阵的三角分解

5.2.3 列主元消去法

5.3 矩阵三角分解法

5.3.1 直接三角分解法

5.3.2 平方根法

5.3.3 追赶法

5.4 向量和矩阵的范数

5.5 误差分析

第 6 章 解线性方程组的迭代法

6.1 迭代法的基本概念

6.1.1 引言

6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

6.2.1 雅可比迭代法

6.2.2 高斯-塞德尔迭代法

6.2.3 雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代收敛性

6.3 超松弛迭代法

6.4 共轭梯度法

第 7 章 非线性方程与方程组的数值解法

第 1 章数值分析与科学计算引论

第 2 章插值法

第 3 章函数逼近与快速傅里叶变换

第 4 章数值积分与数值微分

第 5 章解线性方程组的直接方法

第 6 章解线性方程组的迭代法

第 7 章非线性方程与方程组的数值解法

第 8 章矩阵特征值计算

第 9 章常微分方程初值问题数值解法