【线性代数】第二章-矩阵及其运算

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一、矩阵定义

1. 定义与矩阵分类

1. 矩阵定义：矩阵是m行n列的数表

2. 矩阵分类：

• 实矩阵
• 同型矩阵：行列数相同
• 相等矩阵：行列都相等
• 零矩阵：不同型的零矩阵是不同的
• 正交矩阵：AAᵀ = AᵀA = E <=>A⁻¹ = Aᵀ ，|A|² =1
• 反对称矩阵：Aᵀ = - A 每个元素都加负号。

3. 对角矩阵：除对角线外元素都为0，单位矩阵：对角线元素都为1，其他为0。

二、矩阵运算

1. 加法

对应元素相加，只有同型矩阵才能做加法。加法满足交换律和结合律。

2. 数与矩阵相乘

矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

3. 矩阵相乘

3.1. 定义

3.2. 法则

3.3. 幂等运算

当AB矩阵可交换时

3.4. 纯量矩阵

1. 纯量矩阵与矩阵A乘积 = 数乘A
2. 纯量矩阵与任何同阶方阵都是可交换的

3.5. 单位矩阵相乘特性

单位矩阵在矩阵乘法的作用类似与数1在数的乘法中的作用

4. 矩阵转置

4.1. 定义

4.2. 运算法则

4.3. 方阵行列式特点

三、逆矩阵

1. 逆矩阵的定义、性质和求法

1.1. 定义

矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。

1.2. *定理

1.3. * 运算规律

1.4. * 伴随矩阵公式

2. 矩阵的m次多项式

性质1

对角矩阵

四、克拉默法则

五、矩阵分块法

1. 运算法则

注意齐次方程组解的思路

2. 分块乘法例题