线代第三章 向量（线性表出、线性相关）

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线性表出

若向量β可以表示成 ：β= k1 α1+k2 α2+……+km αm，
则称β可以由向量组α1、α2……αm线性表出。

线性相关

线性无关的几种等价表述：（1）不存在不全为零的数k1、k2……km，使得k1 α1+k2 α2+……+km αm=O。（2）对任意不全为零的数k1、k2……km，均有k1 α1+k2 α2+…+km αm ≠ O。（3）当且仅当k1=k2=……=km=0时，才有k1 α1+k2 α2+……+km αm=O。

含有零向量/相等向量/成比例向量 的向量组是线性相关的。

单个向量时，零向量是线性相关的（存在k不为零，使得kO=O）。

定理：向量组α1、α2……αm（m＞2）线性相关↔至少有一个向量ai可以由其余向量线性表出。       （k1 α1+k2 α2+……+km αm=O且k不全为零，等式两边移项即可得证）

定理：若向量组α1、α2……αm线性无关，而向量组α1、α2……αm、β线性相关，则β可以由α1、α2……αm线性表出，且表出法唯一。

定理：

1、向量β可由向量组α1、α2……αm线性表出↔

2、存在实数k1、k2……km，使得k1 α1+k2 α2+……+km αm=β↔

3、非齐次方程组Ax=β有解↔

4、系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩

（增广矩阵做初等行变换，化为行阶梯矩阵可得r(A)。再进一步化为行最简矩阵，可以列式求出多个未知数xi）

定理：

1、向量组α1、α2……αm线性相关（aj是n维列向量）↔

2、以αj为列向量的齐次方程组 x1 α1+x2 α2+……+xm αm=O有非零解↔

3、r(A)＜n

原理：观察齐次方程组的系数矩阵Am×n=(α1,α2,…,αm)，行数m=列向量aj的维度，列数n=向量的个数/未知数x的个数【这里的m和n的含义有所改变，要特别注意！记忆清楚！】【有几个列向量aj就有几个未知数】。

如何求r(A)——系数矩阵A由初等行(列)变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的秩和原矩阵等秩。

        推论1：m＜n时，齐次方程组有非零解（系数矩阵的行数小于列数时，满足r(A)≤ m＜n）

        推论2：m=n时，当|A|=0时，齐次方程组有非零解（★只有n阶矩阵才有对应行列式。|A|=0说明在矩阵A内存在某行或列全部为0，满足r(A)＜n）

★★★判断向量组的线性相关性，最多三种情况：列向量aj的维度=m，向量组中向量的个数=n

(1)m＜n时：不用求直接得出r(A)＜n，向量组线性相关。

原理：矩阵的秩≤行数，即r(A)≤ m＜n，向量组线性相关                                       P232例5(2)

(2)m = n时（即系数矩阵为方阵时）：计算系数行列式|A| 

情况① |A|=0，则r(A)＜n，向量组线性相关

情况② |A|≠0，则r(A) =n，向量组线性无关          只有方阵才有对应的行列式噢！P232例5(1)

(3)m＞n时：计算系数矩阵A的秩r(A)

情况① r(A)＜n，向量组线性相关 

情况② r(A) =n，向量组线性无关

情况③ r(A)＞n，向量组线性无关

题型：已知各向量的坐标，判断向量组的线性相关 就是转化为考察齐次方程组考察有无非零解。

步骤

1、设x1 α1+x2 α2+……+xm αm=O

2、按分量写出，得齐次方程组

3、写出系数矩阵Am×n=(α1,α2,…,αm)。观察。化为行阶梯矩阵判断r(A)，若r(A)＜n / m＜n / m=n且|A|=0，齐次方程组有非零解，向量组线性相关。

定理：

向量组线性无关的充要条件：r(A)＜n   （n为向量的个数/齐次方程组未知数x的个数）

题型：已知α1、α2、α3线性无关，证明 α1+α2、α2+α3、α3+α1 线性无关。

步骤

1、记 β1=α1+α2、β2=α2+α3、β3=α3+α1

则(β1,β2,β3) =(α1+α2,α2+α3,α3+α1) =(α1,α2,α3) （相当于矩阵(α1,α2,α3)右乘矩阵）

2、由于行列式=2≠0，知矩阵可逆→r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)（乘上一个可逆矩阵不改变原矩阵的秩）

3、已知α1,α2,α3线性无关→r(α1,α2,α3)=n=3→r(β1,β2,β3)=3（向量组线性无关的充要条件为r(A)=n，n为向量的个数/齐次方程组未知数x的个数）

4、由于r(β1,β2,β3)=n，故β1,β2,β3也线性无关。（P234例10还有方法二）

向量组之间的线性表出：

一组向量由另一组个数更少的向量线性表出，则该组向量线性相关。

定理：设向量组β1、β2……βt中的任一向量均可由向量组α1、α2……αs线性表出，

（1）若β1、β2……βt 线性无关，t ≤ s（β数量少）

（2）若 t ＞s（β数量多），则β1、β2……βt 线性相关，​

证明（2）：设向量均为n维向量，因向量组β1、β2……βt中的任一向量均可由向量组α1、α2……αs线性表出，存在。。。（未完）

（1）是（2）的逆否命题。