深度学习基础 – 单位向量

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深度学习基础 – 单位向量

有向线段-》向量-》向量放到坐标轴里-》计算向量的长度-》单位向量-》三角函数表示向量的分量

空间中的向量

有向线段$AB$有起点A和终点B；加上箭头就是向量$\overrightarrow{AB}$，或者$\vec{v}$,或者$\vec{a}$

将向量放到坐标轴里，A和B这两个点都有各自的坐标
$A=(1,2)$
$B=(5,6)$

如果平面上的一个向量$\vec{v}$等于起点在原点$(0,0)$,终点在$(v_1,v_2)$的向量,则向量$\vec{v}$的分量形式是$$\vec{v}=<v_1,v_2>$$

这样一个平面向量也就是实数的有序对$<v_1,v_2>$,数$v_1$和$v_2$是v的分量，

向量的长度也叫向量的模

$$\begin{array}{r}|\vec{v}|=\sqrt{(v_1{)}^2+(v_2{)}^2}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\end{array}$$
或者说2范数
$$\begin{array}{r}{\Vert X\Vert }_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}.\end{array}$$

假如向量是$\vec{v}=\left(v_1,v_2\right)$ 那么计算向量长度的方法是
$$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$
举例说明 $\vec{v}=(4,2)$.
$v_1=4$ 和 $v_2=2$ 计算过程是
$$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

双竖线与数的绝对值区分

单位向量

线性组合

$$\begin{array}{rl}\vec{v}& =<a,b>\\ & =<a,0>+<0,b>\\ & =a<1,0>+b<0,1>\\ & =ai+bj\end{array}$$

一维的单位向量通常写$i$

图中红色的是单位向量，标记为 $i$。
用单位向量表示另外两个向量分别是$2i$ 和$7i$

$x$ 方向的一个单位向量 $i$和 $y$ 方向的一个单位向量 $j$。
可以用单位向量 $i$ 和 $j$ 表示出任意二维向量。下图可以通过数方格的个数，看大小.

$$\begin{array}{rl}& \\ v& =2i-0.5j\\ & \\ & =2\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 0\end{array}\right]-0.5\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{c}2\cdot 1\\ \\ 2\cdot 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0.5\cdot 0\\ \\ 0.5\cdot 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{c}2\\ \\ -0.5\end{array}\right]\end{array}$$

一维的情况下，单位向量$i$ 也就是向量的基底$i$,也叫坐标向量
二维的情况下，单位向量$i,j$ 也就是向量的基底$i,j$
三维的情况下，单位向量$i,j,k$ 也就是向量的基底$i,j,k$

与正$x$轴形成角 $\theta$ 的单位向量v表示为
$$\vec{v}=<\cos \theta ,\sin \theta >$$

向量的分量与方向

1. 二维空间中的向量

在二维空间中，一个向量 $\mathbf{v}=(v_x,v_y)$ 可以表示为：
$v_x$ ：向量在x轴方向上的分量，即向量 $\mathbf{v}$ 投影到x轴上的长度。
$v_y$ ：向量在y轴方向上的分量，即向量 $\mathbf{v}$ 投影到y轴上的长度。

示例

假设我们有一个向量 $\mathbf{v}=(3,4)$：
$v_x=3$，表示这个向量在x轴方向上有3个单位长度。
$v_y=4$，表示这个向量在y轴方向上有4个单位长度。

计算向量的模

计算方向

方向角 ：向量与x轴正方向之间的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式计算：$$\theta =\arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$
更准确地，可以使用 $\text{atan2}(v_y,v_x)$ 来考虑角度的象限。

单位向量 ：向量的单位向量 $\hat{\mathbf{v}}$ 计算公式为：$$\hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{v_x}{|\mathbf{v}|},\frac{v_y}{|\mathbf{v}|}\right)$$
这里 $\hat{\mathbf{v}}$ 是长度为1的向量，保留了原始向量的方向信息。

2. 三维空间中的向量

在三维空间中，一个向量 $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$ 的方向可以由与坐标轴的夹角来描述：
方向余弦 ：向量与三个坐标轴之间的夹角分别称为 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$。这些夹角的余弦值计算公式为：$$\cos (\alpha )=\frac{v_x}{|\mathbf{v}|},\cos (\beta )=\frac{v_y}{|\mathbf{v}|},\cos (\gamma )=\frac{v_z}{|\mathbf{v}|}$$
其中 $|\mathbf{v}|$ 为向量的模，计算公式为：$$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$

单位向量 ：三维空间中的单位向量 $\hat{\mathbf{v}}$ 为：$$\hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{v_x}{|\mathbf{v}|},\frac{v_y}{|\mathbf{v}|},\frac{v_z}{|\mathbf{v}|}\right)$$

3. n维空间中的向量

在n维空间中，一个向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ 的方向通过单位向量表示：$$\hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\dots ,\frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$$
其中 $|\mathbf{v}|$ 为向量的模，计算公式为：$$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$$