【最优化方法】矩阵的二次型

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矩阵二次型的定义

矩阵的二次型是一个与矩阵和向量相关的二次多项式。对于一个实数域上的二次型，给定一个 $n\times n$ 的对称矩阵 $A$ 和一个列向量 $x$（ $x$ 是一个 $n\times 1$ 的列向量），其二次型定义为：
$$Q(x)=x^{T}Ax$$

矩阵 $A$ 和列向量 $x$ 的具体形式为
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]x={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_3\end{array}\right]}^T$$
那么二次型可以写为
$$Q(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
这个形式表达了二次型的一般形状。实对称矩阵的对称性保证了二次型中的交叉项系数相等，即 $a_{ij}=a_{ji}$，从而确保了 $Q(x)$ 的对称性。

矩阵的二次型在线性代数、优化、统计学等领域中有着广泛的应用，特别是在描述二次关系、凸优化等方面。

正定性、负定性、半定性和不定性

示例

判断该式子是哪种类型？（正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型）

解：
$$\begin{array}{rl}& |A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cccc}-\lambda & 1& 1& -1\\ 1& -\lambda & -1& 1\\ 1& -1& -\lambda & 1\\ -1& 1& 1& -\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 1& -\lambda & -1& 1\\ 1& -1& -\lambda & 1\\ -1& 1& 1& -\lambda \end{array}\right|\\ & \\ & =(1-\lambda )\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -\lambda & -1& 1\\ 1& -1& -\lambda & 1\\ -1& 1& 1& -\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -\lambda -1& -2& 0\\ 0& -2& -\lambda -1& 0\\ 0& 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|\\ & \\ & =(1-\lambda {)}^2({\lambda }^2+2\lambda -3)=(\lambda -1{)}^3(\lambda +3)\end{array}$$
求得 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=1,{\lambda }_4=-3$ ，

故矩阵 $A$ 是特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵，属于不定二次型。