算法总结-前缀和问题

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前缀和（preSum）是一种常用的、较为高效的预处理方式，相比于暴力解法，能够有效减低查询的时间复杂度。

1、前缀和算法

前缀和其实就是数组的前n项之和，为了更好的理解和应用它，我们用一个题目来学习前缀和算法。

给你一个数组 nums 。数组「动态和」的计算公式为：runningSum[i] = sum(nums[0]…nums[i]) 。

请返回 nums 的动态和。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4] 输出：[1,3,6,10] 解释：动态和计算过程为 [1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4] 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• -10^6 <= nums[i] <= 10^6

这是一个典型的前缀和题目。如果使用暴力解法，也可以做出这道题，但需要两个for循环，时间复杂度较大，暴力解法如下：

int* runningSum(int* nums, int numsSize, int* returnSize){ int *arr = malloc(sizeof(int) * (numsSize)); *returnSize = numsSize; for(int i = 0;i < numsSize;i++) { int temp = 0; for(int j = 0;j < i+1;j++) { temp += nums[j]; } arr[i] = temp; } return arr; }

如果用前缀和的解法，只需要一次循环，时间复杂度会大大降低。如下。

int* runningSum(int* nums, int numsSize, int* returnSize) { *returnSize = numsSize; for (int i = 1; i < numsSize; i++) { nums[i] += nums[i - 1]; } return nums; }

前缀和不仅代码简洁，性能上更是优于暴力解，因此能用前缀和来解决的题目应尽量避免使用暴力解法。

2、前缀和+哈希

前缀和有时会和哈希表一起使用，用来解决例如连续子数组之类的问题。如下问题

leetcode 560.和为k的子数组

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

提示：

这类问题很明显可以用前缀和来解答，但只使用前缀和在计算量较大的情况下效率仍然较低，可能会存在超时的问题，这时可以使用哈希表来进行优化。

前缀和问题的关键是找出所有前缀和为k的子数组，这个问题可以转换为”当前前缀和 – 前面前缀和 == k“，即preSum[i]  – preSum[j] = sum[i, j] ，也即preSum[i]  – preSum[j] = k。这样我们就可以用哈希表来存储每一个子数组和，以便于查找。

那么，如果存在preSum[i]  – preSum[j] = k，就可以利用哈希表记录preSum-k的元素，查找并计算preSum-k存在的次数即为目标值的个数。

代码如下：

struct hashtable { int key; int cnt; UT_hash_handle hh; }; struct hashtable *g_head = NULL; int subarraySum(int* nums, int numsSize, int k) { g_head = NULL; struct hashtable *node = (struct hashtable*)malloc(sizeof(struct hashtable)); node->key = 0; node->cnt = 1; HASH_ADD_INT(g_head, key, node); int sum_i = 0, ans = 0; for (int i = 0; i < numsSize; i++) { sum_i += nums[i]; int sum_j = sum_i-k; struct hashtable *s; HASH_FIND_INT(g_head, &sum_j, s); if (s != NULL) { ans += s->cnt; } HASH_FIND_INT(g_head, &sum_i, s); //查找当前preSum是否在哈希表，没有则将当前preSum入哈希表 if (s == NULL) { s = (struct hashtable*)malloc(sizeof(struct hashtable)); s->key = sum_i; s->cnt = 1; HASH_ADD_INT(g_head, key, s); } else { s->cnt++; } } return ans; } 

这个题目的关键，一是要彻底理解hash表中所存放值的含义；二是要理解返回值为什么是ans += s->cnt;而不是ans++。

我们以一个例子来理解这两个问题，假设数组为[1, 0, 3, 2, 4]，所求的目标值为5，那么其前缀和如下（假设下标从1开始）：

sum[1] = 1;

sum[2] = 1;

sum[3] = 4;

sum[4] = 6;

sum[5] = 10;

这几个值是要存到hash表中去的，其在hash表中的键值对为（key-value）：1-2，4-1，6-1，10-1，我们到hash表中查找时，是按其key值检索的。

那么sum – k分别为：

[-4， -4， -1， 1，5]

这几个值就是我们要在哈希表中查找的，如果存在，那么就是我们的目标值，找到其对应的value即可，value就是其个数。比如以上例子我们的目标值为5，那么sum – k值为1的时候，哈希表中是有对应值的，即键值对1-2，这个就是我们要找的值，其结果为2，此时当前的前缀和为sum[4] = 6，所要减去的前缀和为sum[0]、sum[1]（因为两个值都为1）。

对于第二个问题，用一个简单的例子就可以说明。一般情况下，hash表中的键值对都是x-1的形式，但有些特殊情况下例外，如数组为[1, -1, 0, 0]，目标值为0的情况，这时

sum[0] = 1;

sum[1] = 0;

sum[2] = 0;

sum[3] = 0;

将各前缀和存到hash表中后，值为0的key，有3个，分别为sum[1]、sum[2]、sum[3]，但在哈希表实际上占用一个键值对，即0-3。假如i = 3，那么当前前缀和为sum[3] = 0，以0 – k = 0到哈希表中查找目标值，此时会有两个值满足条件，即sum[1]、sum[2]，其逻辑为，对于当前前缀和sum[3]，存在前缀和sum[1]、sum[2]使得sum[3] – sum[1]或sum[2]，其结果值为k。

这样的话，对于sum[3]而言，满足条件的值就不是一个了，所以计算结果时要用ans += s->cnt，而不是ans++来计算。

总结：要真正理解hash表中存的值是什么，hash表中存的是sum[0] – sum[i]的各个前缀和（不包括中间截取的情况）。而我们要拿去hash表查找的key，其实是sum-k，也就是当前前缀和之前的前缀和（如sum[3]之前的前缀和sum[1]或sum[2]），如果这个值存在hash表中，就说明条件成立。

解决这类问题要注意问题的转变，比如前面题目中我们将前缀和的问题转换为了hash表中寻找sum-k的问题，这时我们的问题已经转变，不再是求子数组的个数，而是求hash表中sum-k的个数，当问题转变时，条件也会转变，切不要将转变后的问题和条件与原来的问题和条件相混淆。

最后还应该释放哈希表。

 HASH_ITER(hh, g_head, current, next) { if (current) { HASH_DEL(g_head, current); } }