现代控制理论（4）——李雅普诺夫稳定性理论

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一、李雅普诺夫关于稳定性的定义

系统$\dot{x}=f(x,t)$,若存在状态$x_e$满足$${\dot{x}}_e\equiv 0$$,则该状态为平衡状态

1.李氏意义下的稳定

系统对于任意选定的实数$\epsilon >0$,都存在一个实数$\delta >0$,当满足$$||x_0-x_e||\le \delta$$
从任意$x_0$出发的解都满足$$||\Phi -x_e||\le \epsilon$$
则称平衡状态为李氏意义下的稳定

2.渐近稳定

解最终收敛于$x_e$

3.大范围渐近稳定

从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态$x_e$为大范围内渐近稳定

4.不稳定

不管$\delta$有多小，只要由$S(\delta )$内出发的状态轨迹超出$S(\epsilon )$ 以外，则称此平衡状态是不稳定的

二、李雅普诺夫第一法

1.线性系统的稳定判据

2.非线性系统的稳定判据

非线性系统状态方程$$\dot{x}=f(x)$$
$$f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n]$$
向量函数的雅可比矩阵：

原非线性状态方程化为线性状态方程$$\Delta \dot{x}=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x$$
其中$\Delta x=x-x_e$
然后可套用线性系统的稳定判据

三、李雅普诺夫第二法

1.标量函数的定号性

$V(x)$为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果：
1）$V(x)>0$,则为正定的
2）$V(x)\ge 0$,则为半正定的
3）$V(x)<0$,则为负定的
3）$V(x)\le 0$,则为半负定的

2.稳定性原理

1、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$负定，在原点是渐近稳定的
并且如果$||x||->\infty ,V(x)->\infty$,则系统是大范围渐近稳定的
2、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半负定，在非零状态$\dot{V}(x)$ 不恒为 0,在原点是渐近稳定的
3、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$半负定，在非零状态$\dot{V}(x)$ 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
4、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正定，在原点是不稳定的
5、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零状态$\dot{V}(x)$ 不恒为 0,在原点是不稳定的
6、$V(x)$正定,$\dot{V}(x)$正半定，在非零状态$\dot{V}(x)$ 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定

四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

选定正定二次型函数$V(x)$为李氏函数
$$V(x)=x^{T}Px$$
$$\dot{V}(x)=x^T(PA+A^{T}P)x$$
令$Q=-(PA+A^{T}P)$
如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的
判定稳定性的步骤：
1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵）
2、由$Q=-(PA+A^{T}P)$求P
3、判断P的正定性
4、稳定性结论

五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

1.雅可比矩阵法

$$\dot{x}=f(x)$$
判定稳定性的步骤：
1、求雅可比矩阵

2、克拉索夫斯基表达式：$Q(x)=-[J^T+J]$
3、判断Q的正定性
4、稳定性结论
PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件

2.变量梯度法

1、设$\nabla V=$
2、$$\dot{V}(x)=(\nabla V{)}^T\dot{x}$$
限定$\dot{V}(x)$为负定
3、利用$\frac{n(n-1)}{2}$个旋度方程确定$\nabla V$中的未知数

4、计算并验证V正定性

5、确定系统渐进稳定的范围