从来就不存在所谓的“被乘数”

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原本数学教学在实践中不断改革，人们发现让学生在学习乘法中严格区分乘法的两个运算项的顺序所代表的含义不同，只会让学生陷入脑筋急转弯的文字游戏中，对学生学会乘法这个运算及其应用帮助并不大，于是后来的课本就统统取消了这样的区分，在乘法中无论是a×b还是b×a，表达的意思是相同的而且两个意思都可以表达。但依然有一些顽固派，认为不区分乘法运算项顺序不同带来的意义不同会引发知识混乱。尤其是毒教材事件发酵后，这些“乘以派”更是找到了辩解理由，认为是课本“故意让孩子学不明白”（我承认现在的课本确实是故意让孩子学不明白，但乘法这事不是）。

先看一道题，这道题来自于评论区：菜市场内一斤猪肉5元，买3斤猪肉，花多少钱？

如果简写，也就是过程中不用带单位，那也就意味着3×5=15（元）和5×3=15（元）都是这道题的正确列式结果。

而本文要说的事情就是，从来不存在“乘以”、“被乘数”这两个概念（计算机自动计算原理除外）

小学数学课上讲到的乘法的定义是：几个相同的数的和。例如5个3的和就等于5与3相乘。这个定义其实在数学中并不严谨，但符合3~10岁孩子的认知发展过程。而且许多的数学概念的定义都是这个样子，例如初中函数的定义就只是通过描述了函数“一一对应”的特点进行定义，到了高中才通过集合定义函数。所以小学数学课上的乘法定义虽然不严谨，但这样定义没错。但是，无论哪个学段，其知识本身必须符合数学自身的逻辑性原理，不能擅自加戏。

自然数乘法的定义是这样的：

集合的直积，确实需要区分参与直积运算的两个集合的顺序，否则里面的元素对的顺序就要发生变化。但具体谁是前者，谁是后者，在很多（不是所有）实际问题中是任意的。而且通过寻找双射，可以证明自然数范围内乘法交换律是成立的。也正是因为乘法交换律的存在，使得区分所谓“被乘数”、“乘数”，区分“乘”和“乘以”的概念只是文字游戏，没有任何实质意义。

如果两个元素数目有限的集合之间可以构造一个双射，那么这两个集合元素数目相等，这也是自然数相等的定义。

这就说明乘法交换律在自然数范围内是成立的。

只不过，现实生活中，我们确实有区分乘法运算项意义的需要，但绝不是靠运算项的顺序。而且为了学生学习方便，为了让知识具有类比关联的特性（也就是知识对称性），乘法的运算项，应统一称作“乘数”（现在课本中还在用“因数”，但也会用“乘数”，说明这个概念已经开始过渡了）。乘法中，就是“乘数×乘数=积”，如同加法中“加数+加数=和”。

也正因为每个量后面都可以写出单位（虽然小学阶段只需要在结果后面写单位，而且这个单位通常是物理量、货币的单位、量词，上述两个式子中把“鸟”作为单位只是为了方便解释，小学通常要求写“只”），这样就已经区分出这两个量的实质含义了，根本就不需要所谓的“被乘数”、“乘数”的区分以及两个运算项的顺序。

而且，回到刚才乘法的定义上来，可以给每个笼子中的鸟编号1, 2, 3, 4, 5, 6，给笼子编号啊a, b, c, d．这样集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合B={a, b, c, d}，那么无论A×B还是B×A，都能指代每只具体的鸟，而且(a, 1)和(1, a)表示的实际上是同一只鸟。这既可以理解成4个6相加，每个6指的是每个笼子中的鸟的数量，也可以理解成6个4相加，每个4指的是编号相同的鸟的数量，也可以这样理解：每次4只笼子各放一只鸟，共放6次。所以如果按照乘法的本质定义说的话，A和B究竟什么意思，A和B的直积顺序如何，这都是可以人为指定的，再叠加上乘法交换律，因此，乘法中乘数顺序没有任何意义，更不存在着“被乘数”这样的概念（计算机自动计算原理除外），也就没有所谓的“乘以”。

那些还在纠结“乘”、“乘以”这种文字游戏，非要让学生按照特定顺序列乘法算式的教研员/学科组长/备课组长/老师，可以歇着了，不要再让学生纠结这个根本就没意义的问题了。

至于后面学习深入后，有些乘的概念可能要区分顺序的情况下，也是统一把“a乘b”理解成“a×b”，没必要加所谓“以”字，比如矩阵乘法并不满足交换律，这时候只要说“左乘”、“右乘”即可，而“乘”则默认是“右乘”。

“被乘数”这种概念，只存在于计算机自动计算原理当中，这时候不只是乘法，就连加法都会出现“被加数”，之所以会这样，是因为在计算机中，运算数要保存在寄存器中，且通过寄存器内部电位变化实现计算。而加、减、乘三种运算，一般都是让存储“被__数”的寄存器电位变化后改成存储运算结果，比如

add ax, dx

sub ax, dx

mul ax, dx

都是被__数和运算结果均放在寄存器ax中，也就是说，ax中的数确实被加，被减，被乘了，所以才会有“被__数”这样的概念。除法比较特殊，有些运算器的构造是被除数和余数使用同一个寄存器（因为被除数和余数的量纲通常是相通的），但余数取代被除数也是被除造成的。所以，只有在计算机的自动计算原理中，才会有“被加数”和“被乘数”。脱离计算机运算器的运算原理，“被加数”和“被乘数”的概念就是不存在的。