【概率论】4-7:条件期望(Conditional Expectation)

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Abstract: 本文介绍期望的条件版本，也就是条件期望
Keywords: Expectation，Prediction，Law of Total Probability

条件期望

条件期望的定义和基本性质 Definition and Basic Properties

在我们举个例子之前我们回忆一下，我们整章都在说的期望，一个随机变量的期望取决于分布，而且我们提到过，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，那么我们可以进一步说每个分布对应唯一的期望，但是我们知道分布是有条件版本的，所以对应的期望就是条件分布的期望，而期望这个数值在预测过程中满足最小M.S.E. 的要求，所以某些时候用条件期望来预测某个值的出现是合理的。

那么当我们随机选取这个调查中的某一家人，其中有n个家庭成员，那么他们的手机持有量是多少呢？

这个问题就是一个典型的预测问题。

Definition Conditional Expectation/Mean.Let $X$ and $Y$ be random variables such that the mean of $Y$ exists and is finite.The conditional expectation(or conditional mean) of $Y$ given $X=x$ is denoted by $E(Y|x)$ and is defined to be the expectation of the conditional distribution of $Y$ given $X=x$ .

这个定义就是条件期望或者条件均值的定义了，如果 $Y$ 存在并且有限，条件 $X=x$ 条件期望 $E(Y|x)$

当然上面这个定义对条件有一定要求，因为条件 X也是随机变量，所以其取值也有范围，比如有些情况下 $f_1(x)=0$ 这种情况就很尴尬了，不过也没关系，因为条件发生的概率都是0了，那么在此条件下再发生别的更是不可能，所以这种情况变得无关紧要；另一种尴尬就是$f_1(x)\ne 0$ 也就是条件是某个正常的值了，但是这时候Y可能不存在期望，或者期望是无穷的情况，这时条件期望未定义；

Definition Conditional Means as Random Variables.Let $h(x)$ stand for the function of $x$ that is denoted $E(Y|x)$ in either (1) or (2).Define the symble $E(Y|X)$ to mean $h(X)$ and call it the conditional mean of $Y$ given $X$

想一下，我们前面给出了条件的具体取值，比如当给定 $X=x_0$ 的条件下，$Y$ 的期望是什么。如果我们不给定条件特定的值，那么条件变成一个变量，从微积分的角度来看求条件期望的公式如下
$$E(Y|X=x)={\int }_{-\infty }^{\infty }Y{f}_1(Y|X=x)dy$$
如果$X$ 也是变量那么这个两个变量的单积分表达式的结果就是个 $X$ 的函数.

注意，当给定条件 $X$ 时的条件期望 $E(Y|X)$ 是一个随机变量，有自己的分布;给定条件$X=x$ 时，条件概率 $h(x)=E(Y|x)$ 是一函数，这个函数与其他普通函数一样使用；
他们的联系是 $X$ 有一定个概率等于 $x$ 这时候， $E(Y|X=x)=h(x)$ 按照函数 $h$ 来完成计算。

接着我们提出条件版的全概率公式：

Theorem Law of Total Probability for Expectation.Let $X$ and Y be random variables such that Y has finite mean.Then
$$E[E(Y|X)]=E(Y)$$

证明第一步用到了函数的期望，谁是函数？我上面说啦，$h(x)=E(Y|x)$ 可以当做函数使用，然后又用到了条件概率分布和边缘分布的关系，最后得到预料之内的结论。

接下来这个定理反应的是当给定条件 $X=x$ 下的概率，和把 $X$ 当做已知常数 $x$ 是一致的.

Let $X$ and $Y$ be random variables,and let $Z=r(X,Y)$ for some function r.The conditional distribution of $Z$ given $X=x$ is the same as the conditional distribution of $r(x,Y)$ given $X=x$

上面这个定理是说当某个随机变量 $Z$ 是另外两个随机变量 $X,Y$ 的某个函数 $r$ 结果，那么当其中一个随机变量 $X$ 或者 $Y$ 被给定为条件的时候 $E(Z|X=x)=E[r(x,Y)|X=x]$

作为期望的第一步扩展，我们这里给出条件方差的定义，当然也有条件距，条件偏度，条件m.g.f，多变量的条件协方差等，篇幅时间都有限，不可能都一一练习，大家要多看例子，不然后面数理统计容易懵逼

Defintion Conditional Variance.For every given value $x$ ,let $Var(Y|x)$ denote the variance ofthe conditional distribution of $Y$ given $X=x$ .That is
V a r ( Y ∣ x ) = E { [ Y − E ( Y ∣ x ) ] 2 ∣ x } Var(Y|x)=E\{[Y-E(Y|x)]^2|x\} Var(Y∣x)=E{
[Y−E(Y∣x)]2∣x}

这就是我们说当给定 $X=x$ 时 $Y$ 的条件期望是 $Var(Y|x)$

条件期望用来预测 Prediction

上面我们临床试验的例子描述了一种场景，并说如果在一个随机样本空间 $n$ （足够大） 中有 $X$ 个成功治愈的样例，那么我们怎么估计 $P$ 这就是一个非常接近数理统计的例子，或者说这就是一个统计了题目。

Theorem The prediction $d(X)$ that minimizes E { [ Y − d ( X ) ] 2 } E\{[Y-d(X)]^2\} E{
[Y−d(X)]2} is $d(X)=E(Y|X)$

证明过程略复杂，当时我们还是详细的写一下，毕竟后面统计要用到。在证明之前我们先仔细看看这个定理说的到底是个什么事，我们想要预测某个随机变量 $X$ 的某个函数( $d$ )的结果，误差函数被定义为 $[Y-d(X){]}^2$ 其结果是 $d(X)=E(Y|X)$
误差函数或者损失函数是机器学习里的名词，这里指的就是类似于前面 M.S.E. 和M.A.E. 的一个指标，最小化时有最优结果。
证明：
我们证明X有一个连续分布，离散分布与连续情况基本一致。

1. 令 $d(X)=E(Y|X)$ , $d^{\prime }(X)$ 是一个任意的预测结果，我们只需要证明 E { [ Y − d ( X ) ] 2 } ≤ E { [ Y − d ′ ( X ) ] 2 } E\{[Y-d(X)]^2\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2\} E{
   [Y−d(X)]2}≤E{
   [Y−d′(X)]2} 成立
2. 根据 E { E [ r ( X , Y ) ∣ X ] } = E [ r ( X , Y ) ] E\{E[r(X,Y)|X]\}=E[r(X,Y)] E{
   E[r(X,Y)∣X]}=E[r(X,Y)] 有 $Z^{\prime }=[Y-d^{\prime }(X){]}^2$ 并且 $h^{\prime }(x)=E(Z^{\prime }|x)$ 可以把1中的不等式转化成连续函数的期望的形式
   $$\int h(x)f_1(x)dx\le \int h^{\prime }(x)f_1(x)dx$$
   
3. 所以我们就把上面要证明的目标转换成了证明 $h(x)\le h^{\prime }(x)$
4. 那么我们如果证明了 E { [ Y − d ( X ) ] 2 ∣ x } ≤ E { [ Y − d ′ ( X ) ] 2 ∣ x } E\{[Y-d(X)]^2|x\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2|x\} E{
   [Y−d(X)]2∣x}≤E{
   [Y−d′(X)]2∣x} 就相当于证明了3
5. 假定4中的 $x$ 为常数，根据MSE很容易证明结论

证毕

这个证明有点粗糙，但是大概框架给出了，大家需要查阅这两天的博客就能得出完成的证明过程了。

M.S.E. 还和 $Var$ 有关系：当我们预测在给定条件 $X=x$ 的条件下预测 $Y$ 为 $E(Y|x)$ 时其M.S.E就是 $Var(Y|x)$ 如果在 $X$ 未知的情况下最佳预测就是 $E[Y]$

Theorem Law of Total Probability for Variance.If $X$ and $Y$ are arbitrary random variables for which the necessary expectations and variances exist,then $Var(X)=E[Var(Y|X)]+Var[E(Y|X)]$

总结