信息安全数学基础（25）勒让德符号

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前言 

       勒让德符号（Legendre Symbol），也称为二次特征，是数学中特别是数论领域的一个重要工具，由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入。勒让德符号主要用于判断一个整数是否是给定奇素数的二次剩余（即能否表示为该素数下某个整数的平方）或二次非剩余，以及该整数是否能被该素数整除。

一、定义

       勒让德符号通常表示为(a|p)，其中a是一个整数，p是一个奇素数。勒让德符号的取值有三种可能：+1、-1或0，具体取决于a在模p下的性质：

• (a|p) = 1：表示a是模p的二次剩余。
• (a|p) = -1：表示a是模p的二次非剩余。
• (a|p) = 0：表示a能被p整除。

二、性质

       勒让德符号具有一些重要的性质和定理，这些性质和定理在数论和密码学等领域有着广泛的应用：

1. 完全积性：对于任意的整数a和b，以及奇素数p，(ab|p) = (a|p) * (b|p)。这意味着勒让德符号在乘法下是封闭的。
2. 二次互反律：二次互反律是数论中的一个重要定理，它给出了两个不同奇素数p和q之间的勒让德符号的关系：((q|p)) * ((p|q)) = (-1)^((p-1)(q-1)/4)。这个定律在简化勒让德符号的计算和证明其他数论定理时非常有用。
3. 欧拉判别法：欧拉判别法提供了一种判断整数a是否为模p的二次剩余的方法。具体地，如果(a|p) = 1，则a是模p的二次剩余；如果(a|p) = -1，则a是模p的二次非剩余。这可以通过计算a的((p-1)/2)次方模p的结果来验证。

三、计算方法

       勒让德符号的计算方法有多种，包括直接计算法、二次互反律法和欧拉判别法等。直接计算法适用于较小的整数和素数，而二次互反律法和欧拉判别法则适用于较大的素数。

1. 直接计算法：对于较小的a和p，可以直接尝试找到满足x^2 ≡ a (mod p)的x，从而判断a是否为模p的二次剩余。
2. 二次互反律法：利用二次互反律，可以将一个复杂的勒让德符号的计算转化为两个更简单的勒让德符号的乘积，从而简化计算过程。
3. 欧拉判别法：根据欧拉判别法，计算a的((p-1)/2)次方模p的结果，并根据该结果判断a是否为模p的二次剩余或二次非剩余。

四、应用领域

       勒让德符号在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。在密码学中，勒让德符号被用于构造公钥密码算法、数字签名方案等，以提高系统的安全性和效率。此外，勒让德符号还在素数判定、大数分解等计算问题中发挥着重要作用。

总结

       综上所述，勒让德符号是数论中的一个重要工具，具有明确的定义、性质和广泛的应用。通过掌握勒让德符号的相关知识，可以更好地理解和应用数论中的其他概念和定理。

 结语  

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