数学分析(二)-数列极限3-数列极限存在的条件3：致密性定理（任何有界数列必定有收敛的子列）

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定理 2.10 (致密性定理)

任何有界数列必定有收敛的子列.

证
设数列 { a n } \left\{a_{n}\right\} {
an​} 有界, 由例 5 可知: { a n } \left\{a_{n}\right\} {
an​} 存在单调且有界的子列 { a n 4 } \left\{a_{n_{4}}\right\} {
an4​​}.再由单调有界定理,证得此子列是收敛的.

例 6
设数列 { a n } \left\{a_{n}\right\} {
an​} 无上界, 则存在 { a n } \left\{a_{n}\right\} {
an​}的子列 { a n k } , lim ⁡ k → ∞ a n k = + ∞ \left\{a_{n_{k}}\right\}, \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=+\infty {
ank​​},k→∞lim​ank​