下确界和上确界

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• 下确界：infimum，简写为 inf（注意和 infinity（无穷）的区别），最大下界，floor：地板的顶；
• 上确界：supremum，最小上界，ceiling：天花板的底；

0. （集合）最大数最小数

• 集合 $B=\big\{x\big |0\leq x\lt 1\big\}$ 中没有最大值。

  采用反证法的形式进行证明，设 $\beta$ 为该集合的最大值，令 $\beta'=\frac{1+\beta}2$（构造性证明），显然 $\beta'\in B$，且 $\beta'>\beta$，这与 $\beta$ 是集合 $B$ 的最大值相矛盾。

1. 举例体会

• 上确界与最大值的区别

  $x\in \mathbb R,x\lt 2$ ⇒ 2 是集合 $x$ 的上确界，但 $x$ 却不存在一个确定的最大值；

2. 上下界与上下确界

• 设非空集合 $E∈R$，如果有实数 $L$ 使得 $x≤L，∀x∈E$（即 $E$ 中所有元素均小于等于 $x$），则称 $L$ 为 $E$ 的一个上界。如果有实数 $\ell$ 使得 $x≥\ell，∀x∈E$，则称 $\ell$ 为 $E$ 的一个下界；
• 对于非空集合 $E$ 属于 $R$，其最小上界称为 $E$ 的上确界，以 $\sup E$ 表示；最大下界称为 $E$ 的下确界，以 $\inf E$ 表示。
• 确界是建立在最大最小数的基础上定义的；
  
  • 上确界，上界集合的最小数；
  • 下确界，下界集合的最大数；

  
  

上确界，上界集合存在的最小数。上界集合存在最小数需要证明，令其上确界为 $\beta$，则 $\beta$ 需满足，

• 是上界：$\forall x\in S$ ⇒ $x \leq \beta$
• 是上界集合的最小数，$\forall \epsilon\gt 0$，所以 $\beta-\epsilon$ 不再是上界，因此 $\exists x$ ⇒ $x \gt \beta-\epsilon$
• 由以上进一步可知，$x\leq \beta\lt x+\epsilon$

确界存在定理，也叫实数系连续定理，非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。

3. 性质

Let $\textstyle A,B \subseteq \mathbb{R}$ and suppose the infima and suprema of these sets exist. Define $\textstyle\lambda A = \{ \lambda x : x \in A\}$, $\textstyle A + B = \{ x + y : x \in A,\ y \in B \}$, and $\textstyle AB = \{ xy : x \in A,\ y \in B \}$.

• $\textstyle p = \inf A$ if and only if for every $\textstyle \epsilon > 0$ there is an $\textstyle x \in A$ with $\textstyle x < p + \epsilon$, and $\textstyle x \geq p$ for every $\textstyle x \in A$.