什么是正交矩阵？

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正交矩阵是一种特殊的方阵，具有以下特性：

1. 定义：$$如果A{A}^T=E（E为单位矩阵，A^T表示“矩阵A的转置矩阵”）或A^{T}A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵$$
2. 性质：
   • 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量（即长度为1）。
   • 正交矩阵的行向量与列向量之间两两正交，即任意两行（或两列）的点积为0。
   • 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，即$$Q^{-1}=Q^T$$
   • 正交矩阵的行列式的绝对值为1$$|\det (Q)|=1$$
   • 这意味着正交矩阵的行列式只能取+1或-1，这一特性使得正交矩阵分为保持定向（行列式为1）和反转定向（行列式为-1）两类。
   • 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

一个简单的2×2正交矩阵例子是旋转矩阵`，它代表了二维平面上的一个特定角度的旋转操作，且保持向量的长度和方向间的直角关系不变。例如，考虑一个旋转角度为45度（或π/4弧度）的正交矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}\cos (45°)& -\sin (45°)\\ \sin (45°)& \cos (45°)\end{array}\right)$$

$$由于\cos (45°)=\sin (45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}，所以该矩阵可以写成：$$

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$$

验证它是正交矩阵，可以通过计算其乘以自身的转置是否等于单位矩阵来完成：

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$$
$$=\left(\begin{array}{cc}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}& {\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\end{array}\right)$$
$$=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

因此，上述矩阵满足正交矩阵的定义。