[数据结构】二叉堆

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参考：《漫画算法-小灰的算法之旅》

目录

一、什么是二叉堆

二、二叉堆的操作

1、插入节点

2、删除节点

3、构建而二叉堆

三、时间复杂度和空间复杂度

四、二叉堆的存储方式

一、什么是二叉堆

二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两类：最大堆和最小堆。最大堆的任何一个父节点的值都大于或等于它左右孩子节点的值；最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等一它左右孩子节点的值。

二叉堆的根节点叫做栈顶。最大堆和最小堆的特点决定了：最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。

二、二叉堆的操作

对于二叉堆有下面几种操作：插入节点、删除节点、构建二叉堆。这几种操作都基于堆的自我调整。所谓堆的自我调整，就是把一个不符合堆性质的完全二叉树，调整为一个堆。以下皆以最小堆为例。

1、插入节点

当插入一个节点时插入位置是完全二叉树的最后一个位置。例如插入一个新节点，值是0。

 新节点的父节点5比0大，不符合堆的性质。于是让新节点上浮，和父节点交换位置。

 继续用节点0和父节点3做比较，因为0小于3，则让新节点继续“上浮”。

 继续比较，最终新节点0“上浮”到了堆顶位置。

2、删除节点

二叉堆删除节点的过程和插入节点的过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。例如删除最小堆的堆顶节点1。

 为了继续维持完全二叉树的结构，我们把 堆的最后一个节点10临时补到原本堆顶的位置。

让暂处堆顶位置的节点10和它的左、右 孩子进行比较，如果左、右孩子节点中最小的一个 （显然是节点2）比节点10小，那么让节点10“下沉”。

继续让节点10和它的左、右孩子做比较，左、右 孩子中最小的是节点7，由于10大于7，让节点10继续 “下沉”。

3、构建而二叉堆

构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质就是让所有非叶子节点依次下沉。

例子：

首先，从最后一个非叶子结点开始，也就是从节点10开始。如果节点10大于它左、右孩子节点中最小 的一个，则节点10“下沉”。

接下来轮到节点3，如果节点3大于它左、右孩子 节点中最小的一个，则节点3“下沉”。

然后轮到节点1，如果节点1大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点1“下沉”。事实上节点1小于它的左、右孩子，所以不用改变。 接下来轮到节点7，如果节点7大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点7“下沉”。

 节点7继续比较，继续“下沉”。

经过上述几轮比较和“下沉”操作，最终每一节 点都小于它的左、右孩子节点，一个无序的完全二叉 树就被构建成了一个最小堆。

三、时间复杂度和空间复杂度

堆的插入操作是单一节点的“上浮” ，堆的删除操作是单一节点的“下沉” ，这两个操作的平均交换次数都是堆高度的一半，所以时间复杂度是 O（logn）。构建堆的时间复杂度却并不是O（n）。

四、二叉堆的存储方式

二叉堆虽然是一个完全二叉树，但是它的存储方式并不是并不是链式存储，而是顺序存储。换句话说，二叉堆的所有节点都存储在数组中。

在数组中，在没有左、右指针的情况下，如何定位一个父节点的左孩子和右孩子呢？ 像上图那样，可以依靠数组下标来计算。 假设父节点的下标是parent，那么它的左孩子下标就是 2×parent+1； 右 孩 子 下 标 就 是 2×parent+2。