【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列表示方法 | 主值区间表示法 | 模 N 表示法 )

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

一、主值区间表示法

主值序列 :

保留 $\tilde{x}(n)$ 在 ” 主值区间 “ 的值 , 其它值都为 $0$ , 构成一个典型的 ” 有限序列 ” ,

该 有限序列 称为 周期序列 的 ” 主值序列 ” ;

” 主值序列 ” 公式如下 :

x ~ ( n ) = { x ~ ( 0 ) , x ~ ( 1 ) , x ~ ( 2 ) , ⋯   , x ~ ( N − 1 ) } \widetilde x(n) = \{ \widetilde x(0) , \widetilde x(1) , \widetilde x(2) , \cdots , \widetilde x(N – 1) \} x
(n)={
x
(0),x
(1),x
(2),⋯,x
(N−1)}

只列出一个周期的值 , 放在集合中 ;

有限序列示例 : 下面表示的是一个 有限序列 , 该序列只有 $4$ 个值 ;

x ( n ) = { 1 , 1 , − 1 , 2 } x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \} x(n)={
1,1,−1,2}

周期序列示例 : 下面表示的是一个 周期序列 , 该序列 周期为 $4$ , 使用 主值区间表示法如下表示 ;

x ~ ( n ) = { 1 , 1 , − 1 , 2 } \widetilde x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \} x
(n)={
1,1,−1,2}

二、模 N 表示法

主值区间表示法 , 只能表示 完整周期的序列 ;

假如 周期序列 周期为 $4$ , 但是想要表示 周期序列中的 $7$ 个值 , 此时就要使用 模 N 表示法 表示 周期序列 ;

$$\tilde{x}(n)=x((n){)}_N$$

其中 , $((n){)}_N$ 表示的是 以 $N$ 为模 的 $n$ 的余数 , $n$ 除以 $N$ 的余数 ;

情况一 : 当 $n\ge 0$ 时 , $n=mN+P$ , 并且有 $0\le P\le N-1$ , 则有 $((n){)}_N=P$ ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 $N=4$ , 要 表示 $n=7$ 个值 , 则 有 $$((7){)}_4=3$$

情况二 : 当 $n\le 0$ 时 , 则有 $((n){)}_N=N-((|n|){)}_N$ ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 $N=4$ , 要 表示 $n=-1$ 个值 , 下面式子计算时 , 先把 $-1$ 取绝对值变为 $1$ , 然后取 $N-1=4-1=3$

$$((-1){)}_4=3$$

举例说明 :

示例一 : $N=5$ 时 , 使用 模 N 表示法 表示 周期序列 :

$$\tilde{x}(8)=x((8){)}_N=\tilde{x}(3)$$

其中 , $\tilde{x}(8)$ 对应的 $\tilde{x}(3)$ 的值是相同的 , $((8){)}_5=3$ ;

示例二 : $$\tilde{x}(-2)=\tilde{x}(3)$$

$((-2){)}_5=5-((|-2|){)}_5=5-((|2|){)}_5=5-2=3$