拟阵

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目录

一，拟阵

1，拟阵

2，拟阵性质

3，独立子集的扩张

4，常见拟阵

5，图的拟阵

6，互补拟阵

二，加权拟阵

1，加权拟阵

2，最优子集

3，贪心问题的拟阵模型

4，求最优子集的通用算法

三，应用实例

单个处理器上对若干个单位时间任务的最优调度问题

一，拟阵

1，拟阵

换句话说，拟阵是一种满足遗传性和交换性的子集族。

2，拟阵性质

对于第二条，可以这么理解：

如果我们把I中不是I中其他任何元素的子集的元素，称为最大独立子集，那么最大独立子集的数量至少为1，而这些最大独立子集可以完全定义出I，

因为任意一个最大独立子集的所有子集都是I的元素，而且这些子集就包含了I的所有元素。

对于第三条，其实就是给这些最大独立子集加以限定。

首先，所有最大独立子集的元素个数都是一样的。

其次，如果构造一个图，每个节点对应一个最大独立子集，2个最大独立子集如果只有一个元素不同那么就连接一条边，那么这个图是无向连通图。

最后，这个无向连通图是否还具有其他性质？比如含有哈密顿链路或环路？这个不太确定。

3，独立子集的扩张

如果，那么称x为A的扩张

4，常见拟阵

（1）S={1,2,3,4}，I有9个元素{1,2}{1,3}{2,4}{3,4}{1}{2}{3}{4}{}，其中{1,2}{1,3}{2,4}{3,4}是4个最大独立子集。

那么M=（S，I）就是一个简单的拟阵。

（2）S={1,2,3,4}，I有11个元素{1,2}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}{3,4}{1}{2}{3}{4}{}，其中{1,2}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}{3,4}是6个最大独立子集。

那么M=（S，I）就是一个简单的拟阵。

（3）显然（2）中的拟阵是非常简单的一种拟阵，可以直接推广：

（4）矩阵拟阵

（5）不那么显然的，（1）中的拟阵可以推广成：

5，图的拟阵

即S是一个图，它的所有无环边集构成一个拟阵。

根据图的性质很容易证明，这确实是拟阵，证明略。

对于一个全连通的图，最大独立子集就是生成树，元素个数就是 顶点数-1

6，互补拟阵

二，加权拟阵

1，加权拟阵

S中的每个元素都有一个权值，一个独立子集的权是它的所有元素的权之和

例如，图的拟阵中，权是边的长度，独立子集的权是所有包含的边的长度之和。

这里就得到了它和最小生成树的关系：对于一个全连通的图，如果每条边的权都大于0，那么权最小的最大独立子集就是最小生成树

2，最优子集

给定一个加权拟阵，所有元素的权都是正数，我们把具有最大权值的独立子集，称为最优子集。

因为所有元素的权值都是正数，所以最优子集一定是最大独立子集。

3，贪心问题的拟阵模型

很多贪心问题都可以转化成一个拟阵模型，即求最优子集。

例如求最小生成树，假设所以的边的权值都在(0,c)范围内，我们把所有边的权值乘以-1，再加上c，即从x变成c-x，

那么求最小生成树的问题，就转化成了求最大权值的最大独立子集，即求最优子集。

4，求最优子集的通用算法

算法非常简单，把所有元素按照权值递减排序，然后从头到尾扫描一遍，

独立子集A初始化为空集，扫描的过程中，如果A加上当前元素还是独立子集，那就加上，如果不是那就不加，

扫描完之后，就得到了最优子集。

实现：

#include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; typedef struct Node //需要根据实际修改 { int w; }Node; #define N 100 //需要根据实际修改数值 Node s[N]; bool cmp(Node &a,Node &b) { return a.w>b.w; } template<typename T> bool check(vector<T>&A)//判断是否是独立子集 { return true; //需要根据实际修改逻辑 } vector<Node> greedy()//求最优子集 { vector<Node>A; sort(s,s+N,cmp); for(int i=0;i<N;i++){ A.push_back(s[i]); if(!check(A))A.pop_back(); } return A; } int main() { return 0; } 

其中，需要根据实际进行修改的有三处：规模N、结构体Node、判断是否是独立子集的函数check

时间复杂度：O（nlogn+nf(n)），其中f(n)是check函数运行的时间。

三，应用实例

单个处理器上对若干个单位时间任务的最优调度问题

思路：

首先，一个调度可以表示成早任务都在迟任务的前面的形式，早任务指的是能及时完成的任务。

其次，在早任务都在迟任务的前提下，一个调度可以表示成早任务全都是按照期限递增的形式。

所以，一个调度等价于一个早任务的集合。

那么，如何判断一个集合是不是独立集合呢？即如何实现check函数？

根据（2）即可完成check函数，时间复杂度为O（n）

所以整个算法的时间复杂度为O（n^2）

思路二：

如果不用拟阵，按照常规的贪心思路，把任务按照权值递减排序，然后从头到尾扫描，依次决定每个任务放到哪个位置，

如果当前还有时间槽可以完成这个任务，那就用其中最近（时间最靠后）的时间槽来完成这个任务，如果没有，那这个任务就是迟任务，不用调度了。

这个选时间槽的操作可以用并查集来完成：如还剩2个槽3,7，那么就有3棵树，根分别为0,3,7，成员分别是{0,1,2}{3,4,5,6}{7…}，

这样就能根据任务的期限快速找出最近时间槽了。