几何变换整理

几何变换整理整理了各种几何变换 刚体变换 相似变换 仿射变换 投影变换 几何变换共有几种方式

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前言

整理了各种几何变换:刚体变换、相似变换、仿射变换、投影变换。

一、刚体变换

刚体变换是平移、旋转的组合。变换后两点距离保持不变。

2D刚体变换:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & t_{x} \\ sin\alpha & cos\alpha & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

其中,\alpha为旋转角度,[t_{x}, t_{y}]^{T}为平移量。

3D刚体变换:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & t_{y} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

其中,A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}为正交矩阵,[t_{x}, t_{y}, t_{z}]^{T}为平移量。

二、相似变换

仿射相似变换是平移、旋转、一致缩放的组合。变换后夹角保持不变。

三、仿射变换

仿射变换是平移、旋转、缩放、倾斜的组合。变换后保持平直性、平行性。

2D仿射变换:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

其中,A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}是旋转+缩放+倾斜矩阵;[x_{x}, y_{y}]^{T}是平移量。

3D仿射变换:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & t_{x} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & t_{y} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

其中,A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}是旋转+缩放+倾斜矩阵;[t_{x}, t_{y}, t_{z}]^{T}是平移量。

仿射变换主要包括:平移、旋转、缩放、倾斜、翻转。有6个自由度。

四、投影变换

投影变换,又称透视变换。将图片投影到一个新的视平面。

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

简单说,投影变换彻底改变目标的形状。

投影变换是最一般的线性变换。有8个自由度。

总结

整理了各种几何变换:刚体变换、相似变换、仿射变换、投影变换。

刚体变换:平移+旋转,只改变物体位置,不改变物体形状

相似变换平移+旋转+统一缩放

仿射变换:改变物体位置和形状,但是保持“平直性”(原来平行的边依然平行)

投影变换:彻底改变物体位置和形状

此处给出单应性不严谨的定义:用 无镜头畸变]的相机从不同位置拍摄 [同一平面物体] 的图像之间存在单应性,可以用 [投影变换] 表示 。

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