成像系统——艾里斑及贝塞尔函数的Python实现

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艾里斑（Airy Disc 或Airy Pattern）在显微系统中，描述焦点处的光斑形状，即中间是一个亮斑，周围有一系列逐渐减弱的明暗相间的圆环。艾里斑是光学衍射造成的，一个点光源通过成像系统后在像面形成一个艾里斑，则可以说该系统的点扩散函数（point spread function，PSF）即为艾里斑。

艾里斑可用于评价一个显微成像系统的分辨率，例如其引申出来的瑞利判据（Rayleigh Criterion）。参见上一篇文章成像系统——三种分辨率判据Rayleigh，Abbe，Sparrow-CSDN博客。

艾里斑可使用贝塞尔函数（Bessel function）进行描述，其公式如下

其中J1为一阶第一类贝塞尔函数；k为波数，a为光阑半径，theta为观察角。

对于一阶第一类贝塞尔函数，J1(x)的第一个零点位置为3.8317，则：

则此时a对应艾里斑的半径。注意这里没有考虑折射率。

在Python的scipy.spectial中可直接引用第一类贝塞尔函数jv()。函数第一个参数为计算的阶数，这里计算艾里斑需要设置为1，第二项为自变量。如下程序为，按照瑞利判据，两个艾里斑恰好能分开的情况。

import numpy as np from scipy.special import jv import matplotlib.pyplot as plt offset = -3.8317 x = np.linspace(-8, 12,10000) y1 = (2*jv(1,x)/x)2 y2 = (2*jv(1,x+offset)/(x+offset))2 plt.plot(x,y1,x,y2) plt.grid() plt.show()