可视化讲解：什么是约瑟夫环？

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前言

概念介绍

1. 基本概念

• 约瑟夫问题，有时也称为约瑟夫斯置换，是一个计算机科学和数学中的问题。在计算机编程算法中，类似问题被称为约瑟夫环，又称丢手绢问题。

2. 问题来历

• 据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。
• 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
• 问题是，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

原理讲解

• 该问题的一般表现形式：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。
• 我们以N=12，M=5为例讲解约瑟夫环的原理。
• 在未开始报数时，大家都存活着（以绿色代表）。此时效果如下图
  
  

1. 从第1个人开始报数字1，第5个人报了数字5，所以把第5个人处决掉。此时效果如下图
   
   
2. 继续从第6个人开始报数字1，第10个人报了数字5，所以把第10个人处决掉。此时效果如下图
   
   
3. 继续从第11个人开始报数字1，第3个人报了数字5，所以把第3个人处决掉。此时效果如下图
   
   
4. 继续从第4个人开始报数字1，第9个人报了数字5，所以把第9个人处决掉。此时效果如下图
   
   
5. 继续从第11个人开始报数字1，第4个人报了数字5，所以把第4个人处决掉。此时效果如下图
   
   
6. 继续从第6个人开始报数字1，第12个人报了数字5，所以把第12个人处决掉。此时效果如下图
   
   
7. 继续从第1个人开始报数字1，第8个人报了数字5，所以把第8个人处决掉。此时效果如下图
   
   
8. 继续从第11个人开始报数字1，第7个人报了数字5，所以把第7个人处决掉。此时效果如下图
   
   
9. 继续从第11个人开始报数字1，第11个人报了数字5，所以把11个人处决掉。此时效果如下图
   
   
10. 继续从第1个人开始报数字1，第2个人报了数字5，所以把2个人处决掉。此时效果如下图
    
    
11. 继续从第6个人开始报数字1，第6个人报了数字5，所以把6个人处决掉。此时效果如下图
    
    

效果展示

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