离散数学12_第5章 关系与函数之等价关系与序关系、哈斯图

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一 等价关系

定义：设R为非空集合A上的关系， 若R是自反的、 对称的和传递的， 则称R为A上的等价关系。

设R为等价关系， 若<x, y> ∈R，称x等价于y, 记作 x ~ y。

等价关系是一类重要的二元关系。

在数学中，存在很多等价关系，在平面三角形集合中， 三角形的相似关系是等价关系。

在生活中， 一群人年龄相等关系是等价关系，姓氏相同关系也是等价关系。 但朋友关系不是等价关系，因为朋友关系不具备传递性。

二 序关系

定义： 设A是一个非空集合， 如果 A上的关系R满足自反性、 反对称性及传递性， 则称R是A上的一个偏序关系， 记作 ” ≼ ” 。 集合A与A上的偏序关系 ≼ 一起称为偏序集， 记为 <A, ≼> 。

设 ≼ 为偏序关系， 若<x, y> ∈≼, 读为 “x小于或等于y”, 记作 x ≼ y. 例如： 整数集合上的小于等于关系LE ᴀ 也是偏序关系。

学到这里， 我们要明白一个概念：

等价关系——————————> 分类

偏序关系——————————> 排序

从定义来看， 等价关系与偏序关系的差别，只是对称性与反对称性， 但这两种关系的特性完全不同。

· 偏序关系 可表示幂集上的包含关系； {1} {1, 2}

· 偏序关系 可表示正整数集合上的整除关系； 24， 34，43

· 偏序关系 可表示实数集上的大于等于关系； 42；

我们绝不能从 符号的表象上，简单地理解为 小于等于！

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2.1 可比与覆盖

 （1）可比

   定义： 设R是非空集合A上的偏序关系， x, y A,

• 如果 x  y 或 y x， 则称 x 与 y可比；
• 如果 x y 且不存在 zA ，使得x z y, 则称 y 覆盖 x。

例如：正整数集合上的整除关系中， 2 与 4 可比，6与3可比，4和3不可比， 因为4和3不能整除；

4 和 6 覆盖2， 但 8、12等均不覆盖2， 因为8、12和2 之间还存在4.

可比的含义：  两个元素 存在包含 关系。

覆盖的含义： y 比 x 要大并且不存在任何中间元素， 这就叫做 y 覆盖 x。

三 哈斯图

1. 先介绍覆盖的定义.

覆盖： 设<A,  ≼>为偏序集， 对∀a,  b∈A, 若a ≺ b且不存在c ∈A, 使得a≺c ≺b, 则称b覆盖a.

记作 COVA = {<a, b> | a ∈A ∧b∈A ∧b覆盖a }.

2. 哈斯图的定义

哈斯图： 表示偏序关系的关系图称为哈斯图， 表示规则为:

1. A中每个元素可用顶点表示
2. ∀a, b∈A, 若 a≺b, 则将a 画在b 的下方； 
3. ∀a, b∈A, 若b覆盖a， 则在 a 与 b之间画一条边；
4. 哈斯图中省略从顶点到自身的边。

看一个例子