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凑微分类
∫ 0 + ∞ e − x d x = − e − t ∣ 0 + ∞ = e − 0 − e − ∞ = 1 所 以 ∫ 0 + ∞ e − λ x d x = 1 λ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=-e^{-t}|_0^{+\infty}=e^{-0}-e^{^{-\infty}}=1 所以 \int_0^{+\infty}e^{-λx}dx=\frac{1}{λ} ∫0+∞e−xdx=−e−t∣0+∞=e−0−e−∞=1所以∫0+∞e−λxdx=λ1
∫ a 2 − r 2 r d r = 1 2 ∫ a 2 − r 2 d r 2 = − 1 2 ∫ a 2 − r 2 d ( a 2 − r 2 ) = − 1 2 2 3 ( a 2 − r 2 ) 3 2 + C \int \sqrt{a^2-r^2}rdr=\frac{1}{2}\int \sqrt{a^2-r^2}dr^2=-\frac{1}{2}\int \sqrt{a^2-r^2}d(a^2-r^2)=-\frac{1}{2}\frac{2}{3}(a^2-r^2)^{\frac{3}{2}}+C ∫a2−r2rdr=21∫a2−r2dr2=−21∫a2−r2d(a2−r2)=−2132(a2−r2)23+C
∫ 1 − x 2 1 + x 4 d x = ∫ 1 x 2 − 1 1 x 2 + x 2 d x = ∫ d ( − 1 x − x ) ( − 1 x − x ) 2 + 2 \int \frac{1-x^2}{1+x^4}dx=\int \frac{ \frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx=\int \frac{ d(-\frac{1}{x}-x)}{(-\frac{1}{x}-x)^2+2 } ∫1+x41−x2dx=∫x21+x2x21−1dx=∫(−x1−x)2+2d(−x1−x)
分布积分类
∫ l n x ∗ x 2 d x = l n x ∗ x 3 3 − ∫ 1 x x 3 3 d x = l n x ∗ x 3 3 − 1 3 x 3 3 + C \int lnx*x^2dx=lnx*\frac{x^3}{3} -\int\frac{1}{x}\frac{x^3}{3}dx=lnx*\frac{x^3}{3} -\frac{1}{3}\frac{x^3}{3}+C ∫lnx∗x2dx=lnx∗3x3−∫x13x3dx=lnx∗3x3−313x3+C
∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x + C \int xe^xdx=(x-1)e^x+C ∫xexdx=(x−1)ex+C
∫ x 2 e x d x = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C \int x^2e^xdx=(x^2-2x+2)e^x+C ∫x2exdx=(x2−2x+2)ex+C
∫ x 3 e x d x = ( x 3 − 3 x 2 + 6 x − 6 ) e x + C \int x^3e^xdx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C ∫x3exdx=(x3−3x2+6x−6)ex+C
其他
∫ a 2 − x 2 d a , x = a s i n t , d x = a c o s t a 2 ∫ c o s 2 t d t = a 2 2 ∫ ( 1 + c o s 2 y ) d y = a 2 2 ( y + 1 2 ∫ ( c o s 2 t ) d ( 2 t ) ) = = a 2 2 ( y + s i n 2 t ) \int\sqrt{a^2-x^2}da, x=asint,dx=acost\\ a^2\int cos^2t dt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2y)dy\\ =\frac{a^2}{2}(y+\frac{1}{2}\int (cos2t)d(2t))==\frac{a^2}{2}(y+sin2t) ∫a2−x2da,x=asint,dx=acosta2∫cos2tdt=2a2∫(1+cos2y)dy=2a2(y+21∫(cos2t)d(2t))==2a2(y+sin2t)
其他
∫ 1 a 2 − x 2 d x 直 接 分 解 ， 或 者 三 角 代 换 = ∫ 1 2 a ( 1 a − x + 1 a + x ) d x = 1 2 a ( l n ∣ x + a ∣ + l n ∣ a − x ∣ ) = 1 2 a l n ∣ x + a x − a ∣ + c \int \frac{1}{a^2-x^2}dx 直接分解，或者三角代换 \\ =\int \frac{1}{2a} (\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a} (ln|x+a|+ln|a-x|)=\frac{1}{2a}ln|\frac{x+a}{x-a}|+c ∫a2−x21dx直接分解，或者三角代换=∫2a1(a−x1+a+x1)dx=2a1(ln∣x+a∣+ln∣a−x∣)=2a1ln∣x−ax+a∣+c
其他
∫ 1 a x 2 + b x + c d x 不 能 分 解 时 加 常 数 , 凑 a r c t a n x \int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx不能分解时加常数,凑arctanx ∫ax2+bx+c1dx不能分解时加常数,凑arctanx
∫ x 1 + x 3 d x = ∫ x ( 1 + x ) ( 1 − x + x 2 ) d x \int \frac{x}{1+x^3}dx=\int \frac{x}{(1+x)(1-x+x^2)}dx ∫1+x3xdx=∫(1+x)(1−x+x2)xdx
其他
一 次 方 和 三 次 方 比 较 好 化 简 ∫ x 3 1 + x 4 d x = 1 4 ∫ d x 4 1 + x 4 ∫ x 1 + x 4 = 1 2 ∫ d x 2 1 + ( x 2 ) 2 一次方和三次方比较好化简\int \frac{x^3}{1+x^4}dx=\frac{1}{4}\int \frac{dx^4}{1+x^4} \\ \int \frac{x}{1+x^4} =\frac{1}{2}\int \frac{dx^2}{1+(x^2)^2} 一次方和三次方比较好化简∫1+x4x3dx=41∫1+x4dx4∫1+x4x=21∫1+(x2)2dx2
A = ∫ x 2 + 1 1 + x 4 d x = 1 2 a r c t a n ( x 2 − 1 2 x ) + C A=\int \frac{x^2+1}{1+x^4}dx=\frac{1}{\sqrt{2}} arctan(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x})+C A=∫1+x4x2+1dx=21arctan(2xx2−1)+C
B = ∫ x 2 − 1 1 + x 4 d x = 1 2 2 l n ∣ x 2 − 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 ∣ + C B=\int \frac{x^2-1}{1+x^4}dx=\frac{1}{2\sqrt{2}} ln|\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+C B=∫1+x4x2−1dx=221ln∣x2+2x+1x2−2x+1∣+C
∫ 1 1 + x 4 用 组 合 积 分 法 = 1 2 ( A − B ) \int \frac{1}{1+x^4}用组合积分法=\frac12(A-B)\\ ∫1+x41用组合积分法=21(A−B)
“定”积分与无穷级数
∑ 1 n f ( i n ) ∗ 1 n = ∫ 0 1 f ( x ) d x 比 如 l i m n → + ∞ ∑ 1 n 1 i + n = ∑ 1 n 1 1 n + 1 ∗ 1 n = ∫ 0 1 1 x + 1 d x \sum_1^n f(\frac{i}{n})*\frac{1}{n}=\int_0^1 f(x)dx\\ 比如lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_1^n \frac{1}{i+n}=\sum_1^n \frac{1}{\frac{1}{n}+1}*\frac{1}{n}=\int_0^1 \frac{1}{x+1}dx 1∑nf(ni)∗n1=∫01f(x)dx比如limn→+∞1∑ni+n1=1∑nn1+11∗n1=∫01x+11dx
定积分
∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x ( 用 区 间 再 现 构 造 方 程 直 接 解 出 目 标 积 分 呢 ) \int_0^{\pi} xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(sinx)dx(用区间再现构造方程直接解出目标积分呢) ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx(用区间再现构造方程直接解出目标积分呢)
∫ 0 到 π 2 华 理 式 公 式 \int 0到 \frac{\pi}{2}华理式公式 ∫0到2π华理式公式
计 算 I = ∫ 0 π x s i n n x d x ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x 计算I=\int_0^{\pi}xsin^nxdx\\ \int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(sinx) dx 计算I=∫0πxsinnxdx∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx
[ 0 , π ] , s i n n ( x ) 总 是 关 于 x = π 2 对 称 ∫ 0 π s i n n x d x = 2 ∫ 0 π 2 s i n n x d x ∫ 0 π c o s n x d x = { 0 , n 为 奇 数 2 ∫ 0 π 2 c o s n x d x , n 为 偶 数 [0,\pi],sin^n(x)总是关于x=\frac{\pi}{2}对称\\ \int_0^{\pi}sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx\\ \int_0^{\pi}cos^nxdx=\left\{\begin{array}{l}0\;\;,\;n\mathrm{为奇数}\\2\int_0^\frac\pi2cos^nxdx\;\;,\;\;n\mathrm{为偶数}\end{array}\right.\\ [0,π],sinn(x)总是关于x=2π对称∫0πsinnxdx=2∫02πsinnxdx∫0πcosnxdx={
0,n为奇数2∫02πcosnxdx,n为偶数
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