线性代数：欧几里得空间和酉空间

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线性代数：欧几里得空间和酉空间

一、欧几里得空间

1.定义

欧几里得空间是指一个实向量空间 $\mathbf{V}$，在其上定义了一个内积 $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$，具有下列性质：

1. 非负性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\ge 0$，且$⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩=0$ 当且仅当 $\mathbf{x}=0$。
2. 对称性：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{V}$，$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩$。
3. 线性性：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in \mathbf{V}$ 和 $a,b\in R$，$⟨a\mathbf{x}+b\mathbf{y},\mathbf{z}⟩=a⟨\mathbf{x},\mathbf{z}⟩+b⟨\mathbf{y},\mathbf{z}⟩$。

2.范数

欧几里得空间中的一个向量 $\mathbf{x}$ 的范数被定义为 $||\mathbf{x}||=\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}$。 范数满足以下性质：

1. 非负性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$||\mathbf{x}||\ge 0$，且 $||\mathbf{x}||=0$ 当且仅当 $\mathbf{x}=0$。
2. 正齐性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$ 和 $a\in R$，$||a\mathbf{x}||=|a|\cdot ||\mathbf{x}||$。
3. 三角不等式：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{V}$，$||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\le ||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||$。

3.标准正交基和正交投影

在欧几里得空间中，我们可以定义标准正交基，并且通过正交投影的方法求出向量在某一方向上的投影。具体地：

1. 标准正交基：设 { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\} {
   v1​,v2​,⋯,vn​} 是 $\mathbf{V}$ 的一个基。如果满足：$⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}⟩=0$，当 $i\ne j$；$⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}⟩=1$，当 $i=j$，则称 { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\} {
   v1​,v2​,⋯,vn​} 是 $\mathbf{V}$ 的一个标准正交基。
2. 正交投影：设 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$\mathbf{P}$ 是以 $\mathbf{v}$ 为方向向量的一个子空间，且 { v 1 , v 2 , ⋯   , v m } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_m}\} {
   v1​,v2​,⋯,vm​} 是 $\mathbf{P}$ 的一组标准正交基，则 $\mathbf{x}$ 在 $\mathbf{P}$ 上的正交投影为：

$$\mathbf{y}=\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_1⟩}{⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩}{\mathbf{v}}_1+\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_2⟩}{⟨{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2⟩}{\mathbf{v}}_2+\cdots +\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}⟩}{⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}⟩}{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}$$

二、酉空间

1.定义

酉空间是指一个复向量空间 $\mathbf{V}$，在其上定义了一个内积 $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$，具有下列性质：

1. 非负性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\ge 0$，且$⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩=0$ 当且仅当 $\mathbf{x}=0$。
2. 对称性：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{V}$，$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\overline{⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩}$。
3. 线性性：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in \mathbf{V}$ 和 $a,b\in C$，$⟨a\mathbf{x}+b\mathbf{y},\mathbf{z}⟩=a⟨\mathbf{x},\mathbf{z}⟩+b⟨\mathbf{y},\mathbf{z}⟩$。

2.范数

酉空间中的一个向量 $\mathbf{x}$ 的范数被定义为 $||\mathbf{x}||=\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}$。 范数满足以下性质：

1. 非负性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$||\mathbf{x}||\ge 0$，且 $||\mathbf{x}||=0$ 当且仅当 $\mathbf{x}=0$。
2. 正齐性：对于 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$ 和 $a\in C$，$||a\mathbf{x}||=|a|\cdot ||\mathbf{x}||$。
3. 三角不等式：对于 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{V}$，$||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\le ||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||$。

3.酉基和正交投影

在酉空间中，我们可以定义酉基，并且通过正交投影的方法求出向量在某一方向上的投影。具体地：

1. 酉基：设 { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\} {
   v1​,v2​,⋯,vn​} 是 $\mathbf{V}$ 的一个基。如果满足：$⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}⟩=0$，当 $i\ne j$；$⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}⟩={\delta }_{ij}$（其中 ${\delta }_{ij}$ 为克罗内克 $\delta$ 符号），则称 { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\} {
   v1​,v2​,⋯,vn​} 是 $\mathbf{V}$ 的一个酉基。
2. 正交投影：设 $\mathbf{x}\in \mathbf{V}$，$\mathbf{P}$ 是以 $\mathbf{v}$ 为方向向量的一个子空间，且 { v 1 , v 2 , ⋯   , v m } \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_m}\} {
   v1​,v2​,⋯,vm​} 是 $\mathbf{P}$ 的一组酉基，则 $\mathbf{x}$ 在 $\mathbf{P}$ 上的正交投影为：

$$\mathbf{y}=\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_1⟩}{⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1⟩}{\mathbf{v}}_1+\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_2⟩}{⟨{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2⟩}{\mathbf{v}}_2+\cdots +\frac{⟨\mathbf{x},{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}⟩}{⟨{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}⟩}{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}$$

三、总结

本文简要介绍了欧几里得空间和酉空间的定义、范数、标准正交基（酉基）和正交投影等概念。这些内容是线性代数中非常重要的基础知识，有助于我们更好地理解和应用相关的算法和模型。