【高等数学 基础篇】定积分的计算

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高等数学 基础篇 ⦾ 武忠祥

部分公式条件省略（懒得敲了XD）

1. 牛顿-莱布尼兹公式

$\text{如果函数}f(x)\text{在区间}[a,b]\text{上连续，并且存在原函数}F(x)\text{，则}$
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x){|}_a^b=F\left(b\right)-F(a)$$

2. 换元积分法

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

3. 分部积分法

$${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x$$
即
$${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u$$

4. 利用奇偶性，周期性

$(1)设f(x)为[a,b]上的连续函数(a>0)，则$
$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{l}0,f(x)\text{为奇函数，}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x,f(x)\text{为偶函数。}\end{array}$$
$(2)设f(x)是以T为周期的连续函数，则$
$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x$$

5. 利用公式

$\begin{array}{rl}& (1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{偶}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3},& n\text{奇}(n>1)\end{array}\\ & (2)f(x)\text{在[0, 1]连续，}{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x\end{array}$
$\begin{array}{rl}& \text{【例 1】}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x\mathrm{d}x=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}\\ & \text{【例 2】}{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{\pi }{2}\arctan (\cos x){|}_0^{\pi }=-\frac{\pi }{2}\left[-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right]=\frac{{\pi }^2}{4}\end{array}$

【附】几何意义

$$\begin{array}{llccccccccccccccccc}& ①{\int }_0^a\sqrt{x^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}(a>0)& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & ②{\int }_0^a\sqrt{2ax-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & ③{\int }_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{2}& & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

作图很容易得出，①是半径为 $a$ 的圆 $\odot O$ 在第一象限的面积；③是半径为 $a$ 的圆 $\odot a$ 在第一象限的面积；②是半径为 $a$ 的圆 $\odot a$ 在第一象限的面积的一半。

个人笔记，如有错误，烦请指正 : )