质能方程推导过程

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质能方程是一个重要且著名的方程，没有质能方程，就不会有今天核物理的迅速发展。在高中，质能方程是直接给出来的，没有任何推导。那么，质能方程是怎么推导得出的呢？

读懂质能方程的含义

质能方程是在相对论的基础上提出的。我们知道，在牛顿力学中，时间和空间是绝对的。这种“绝对”观念只在宏观条件下物体相对于参考系低速运动（速度远小于光速）时适用。如果在微观世界中，或者物体相对于惯性系做高速运动的情况下，经典力学就不适用了。这就是爱因斯坦提出相对论的原因。

在惯性系中，物体静止时具有的质量叫做静止质量，这时物体没有能量。但当物体做高速运动时，物体的能量和质量会以成正比的方式一起增加。这个新增加的质量与物体静止质量之和就是质能方程中物体的质量m。而新增加的能量也就是E。这就是说， $E\propto m$ 。

下面，我们开始对质能方程的推导。推导过程有参考其他出处。

问题呈现

在一惯性参考系中，一微观粒子的静止质量为 $m_0$，现使该粒子受力 F 的作用（力是关于时间的函数），由静止开始运动。过一段时间 t 后粒子的位移是 $x_0$ ，质量是 $m+m_0$ ，这一过程中物体增加的能量为 E 。已知光速大小为 c 。

求证： $$E=m{c}^2$$

方程证明

物体增加的能量即为物体增加的动能，由动能定理可得 $${\int }_0^{x_0}F\text{d}x=E$$

$$\frac{①}{②}$$，由 $$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=v$$ 得
$$\frac{\text{d}E}{\text{d}p}=v$$
即
$$\begin{gathered} \text{d}E=v\text{d}p \\ \text{d}E=v\text{d}(mv) \end{gathered}$$
亦即
$$\text{d}E=mv\text{d}v+v^2\text{d}m\dots \dots ③$$
③式先留着，下面先推另外一个式子。

即 $$m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$$

可以看到，粒子由于运动产生的能量 $E=m{c}^2$。

命题得证。