【数值分析】误差

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误差

1. 误差的类型

• 实际问题转化为数学模型时产生的误差称为模型误差
• 在数学模型中观察数据产生的误差叫观察误差
  以上两种误差我们在数值分析中不讨论，只研究求解数学模型产生的误差
  
• 截断误差（方法误差）：在设计算法时近似处理寻求一些简化
• 舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算需要四舍五入
  计算机的浮点数系，如果采用$\beta$进制，则浮点数表示为$$x=\pm (\frac{d_1}{\beta }+\frac{d_2}{{\beta }^2}+...+\frac{d_t}{{\beta }^t})\times {\beta }^e$$
  其中$d_1,d_2,...,d_t$为整数，且$0\le d_i\le \beta-1 $ $(i=1,2,...,t)$
  $\beta$为浮点数的基底，一般取$\beta =10,2,16$,自然数t为尾数字长，整数e为浮点数的阶码，有固定的下限L和上限U，即$L\le e\le U$,L,U具体数值由计算机规定
  可以验证：F中共有$$2(\beta -1){\beta }^{t-1}(U-L+1)+1$$
  个规格化的浮点数
  记$m={\beta }^{L-1},M={\beta }^U(1-{\beta }^{-t})$,若$f\in F,f\ne 0$,则$m\le |f|\le M$
  注意：浮点数并不充满整个区间$[M,m]$和$[-M,-m]$,且分布不等距
  F是一个有限集，不可能把区间内所有实数都表示出来，由此便产生舍入误差
  
  
  
  
  
  
  
  

2. 误差与误差限

• 误差：设$x$是精确值，$x^{\ast }$是他的一个近似值，称$$e=x-x^{\ast }$$
  是近似值$x$的绝对误差，有量纲可正可负
  
• 误差限：$|x-x^{\ast }|\le ϵ$称是近似值$x^{\ast }$的误差限，$x$可表示为$$x=x\pm ϵ$$

3.相对误差与相对误差限

• 相对误差 $$e_r=\frac{e}{x}=\frac{x-x^{\ast }}{x}\cong \frac{x-x^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{e}{x^{\ast }}$$
• 相对误差限$|e_r|\le {ϵ}_r$,即$$\frac{|x-x^{\ast }|}{|x^{\ast }|}\le \frac{ϵ}{|x^{\ast }|}\le {ϵ}_r$$

4.有效数字

如果近似值$x^{\ast }$的误差限是某一位的半个单位，该位到$x^{\ast }$的第一位非零数字共有n位，则称$x^{\ast }$有n位有效数字
例如对10进制数：$$(X_n{)}_{10}=\pm (\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+...+\frac{a_n}{10^n})\times 10^m$$
其中$a_1$是1到9的数字，$a_2,...,a_n$是0到9的数字，则误差界为；$$|X-X^{\ast }|\le ϵ=\frac{1}{2}\times 10^m\times \frac{1}{10^n}=\frac{1}{2}\times 10^{m-n}$$

5.有效数字与相对误差限的关系

定理1：设近似值$x^{\ast }=\pm 0.a_1{a}_2...a_n\times 10^m$有n位有效数字，则其相对误差限为：$$\frac{|x-x^{\ast }|}{|x|}\le \frac{1}{2a_1}\times 10^{-(n-1)}$$
定理2：设近似值$x^{\ast }=\pm 0.a_1{a}_2...a_n\times 10^m$的相对误差限不大于$$\frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-(n-1)}$$则他至少有n位有效数字

6.和差积商的绝对误差限

• $ϵ(x^{\ast }+y^{\ast })=ϵ(x^{\ast })+ϵ(y^{\ast })$
• $ϵ(x^{\ast }-y^{\ast })=ϵ(x^{\ast })+ϵ(y^{\ast })$
• $ϵ(x^{\ast }\cdot y^{\ast })\approx ϵ(x^{\ast })\cdot |y^{\ast }|+ϵ(y^{\ast })\cdot |x^{\ast }|$
• $ϵ(\frac{x^{\ast }}{y^{\ast }})\approx \frac{ϵ(x^{\ast })\cdot |y^{\ast }|+ϵ(y^{\ast })\cdot |x^{\ast }|}{|y^{\ast }{|}^2}$

7.函数的误差限

• 一元函数：设$f(x)$是一元函数，$x$的近似值为$x^{\ast }$,以$f(x^{\ast })$近似$f(x)$，
  则函数的误差限为$$ϵ(f(x^{\ast }))\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\cdot ϵ(x^{\ast })$$
  
• 多元函数：设$A=f(x_1,x_2,...,x_n),x_1,x_2,...,x_n$的近似值是$x_1^{\ast },x_2^{\ast },...,x_n^{\ast }$,则A的近似值$A^{\ast }=f(x_1^{\ast },x_2^{\ast },...,x_n^{\ast })$,则函数误差限为$$ϵ(A^{\ast })\approx \sum _{k=1}^n|(\frac{\partial f}{\partial x_k}{)}^{\ast }|\cdot ϵ(x_k^{\ast })$$
  相对误差限：
  $${ϵ}_r(A^{\ast })=\frac{ϵ(A^{\ast })}{A^{\ast }}\approx \sum _{k=1}^n|(\frac{\partial f}{\partial x_k}{)}^{\ast }|\cdot \frac{ϵ(x_k^{\ast })}{|A^{\ast }|}$$
  
  

8.误差分析的基本原则

• 避免两个相近数相减
  两个相近数相减，有效数字会大大损失
  
• 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
• 防止大数吃掉小数
  由于计算机位数有限，在数域中成立的运算法则在数值运算中可能不成立，比如结合律
  
• 简化计算步骤，减少运算次数