收敛域、收敛区间与收敛半径

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收敛域、收敛区间与收敛半径

@(微积分)

收敛域：所有收敛点构成的集合。

定理：设n充分大，$a_n\neq 0$,并设$\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho$

收敛半径$R = \frac{1}{\rho}$
因此，

$\rho = 0时，R = +\infty$

$\rho = +\infty 时，R = 0$

所以可以综合到一个式子中。

注：一个幂级数的收敛半径总是存在。发散级数收敛半径为0，通俗说来就是找不到收敛的地方。

收敛区间：$(-R,R)$

对于边界还需要特别代入到幂级数化为常数项级数进行判断。最终综合为收敛域。

具体内容不多，把握核心是关键。

另外，这个结论被张宇老师总结为阿贝尔的12块钱。阿贝尔只证明了区间内绝对收敛，但是边界没有证明，因此，他只赚到10块钱，剩下两块钱的活需要我们自己代入求解，验证。大师已经完成了大部分内容，我们再努力一把就好了！