消费者理论：效用函数

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效用函数

效用函数

效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字的方法。

对于消费束 $(x_1,x_2)$ 的偏好超过对于消费束 $(y_1,y_2)$ 的偏好，其充分必要条件是 $(x_1,x_2)$ 的效用大于 $(y_1,y_2)$ 的效用。
$$\begin{gathered} (x_1,x_2)\succ (y_1,y_2)\iff u(x_1,x_2)>u(y_1,y_2) \\ (x_1,x_2)\prec (y_1,y_2)\iff u(x_1,x_2)<u(y_1,y_2) \\ (x_1,x_2)⪯(y_1,y_2)\iff u(x_1,x_2)\le u(y_1,y_2) \end{gathered}$$

效用函数和无差异曲线

例如：以下消费束 $(4,1)$，$(2,3)$ 和 $(2,2)$
假设
$$(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$$
可以分配格上述消费束保持偏好顺序的任何效用值，如
$$u(2,3)=6>u(4,1)=u(2,2)=4.$$
这些被分配的效用称为效用水平。
无差异曲线表示相同偏好的消费束集合；相同偏好表示同样的效用水平。
因此，$无差异曲线上所有消费束有同样的效用水平$。

边际效用

如果一个效用函数被表达为 $u(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，那么该函数求关于 $x_i$ 的一阶偏导，得到 $\frac{\partial u(\cdot )}{\partial x_i}$，称 $\frac{\partial u(\cdot )}{\partial x_i}$ 为 $x_i$ 的边际效用，即物品 $x_i$ 对于消费提供的边际贡献。

边际效用和边际替代率

预算约束

• 用 $(x_1,\dots ,x_n)$ 表示消费者消费的商品束，$(p_1,\dots ,p_n)$ 表示商品的价格。
• 预算约束：消费支出不超过收入，$m$ 表示消费者的收入，即：
  $$p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n\le m$$
  
• 预算约束描述的是在给定商品价格和收入的情况下，消费者可以消费的商品的数量。
• 当价格为 $(p_1,\dots ,p_n)$ 和收入 $m$ 时能负担的消费束称为消费者的预算集。
  B ( p 1 , … , p n , m ) = { ( x 1 , … , x n ) ∣ x 1 ≥ 0 , … , x n ≥ 0 , p 1 x 1 + ⋯ + p n x n ≤ m } B(p_1,\dots,p_n,m) = \{(x_1,\dots,x_n) \mid x_1\geq 0,\dots,x_n \geq 0,p_1x_1+\dots+p_nx_n \leq m \} B(p1​,…,pn​,m)={
  (x1​,…,xn​)∣x1​≥0,…,xn​≥0,p1​x1​+⋯+pn​xn​≤m}
  

参考

1. 课程老师的PPT，这里就不外传了。