数列的单调性

前言

一、相关性质

• A、当数列\(\{a_n\}\)为特殊类型的数列时，

比如等差数列，\(a_n=a_1+(n-1)d\)，则其单调性取决于\(d\)，

\(d>0\)为单调递增数列，\(d=0\)为常数列，\(d<0\)为单调递减数列，

比如等比数列，\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，则其单调性取决于\(a_1\)和\(d\)，

当\(a_1>0\)且\(q>1\)时为单调递增数列；当\(a_1<0\)且\(0<q<1\)时为单调递增数列；

当\(a_1>0\)且\(0<q<1\)时为单调递减数列；当\(a_1<0\)且\(q>1\)时为单调递减数列；

当\(q=1\)时为常数列，当\(q<0\)时为摆动数列，

• B、当数列为一般数列时，

由于\(a_{n+1}>a_n\)时为单调递增数列，当\(a_{n+1}<a_n\)时为单调递减数列，当\(a_{n+1}=a_n\)时为常数列，

故可以借助作差法判断\(a_{n+1}-a_n>0\)，则为单调递增数列，或\(a_{n+1}-a_n<0\)，则为单调递减数列；

若有\(a_n>0\)，则还可以借助作商法判断\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}>1\)，则为单调递增数列，或\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}<1\)，则为单调递减数列，

• C、还可以借助数列的函数特性，

比如\(S_n=2^n-1\)，则数列\(\{S_n\}\)单调递增；

• D、案例，\(b_n=\cfrac{n}{2^{n-1}}\)，其前\(n\)项的和为\(S_n\)，能想到的判断\(S_n\)的单调性的思路；

思路1：观察法，由于\(b_n>0\)，则\(S_n\)单调递增，原因是正数越加越大；最简单实用；

思路2：函数法，用错位相减法求得\(S_n=4-\cfrac{n+2}{2^{n-1}}\)，利用指数函数和幂函数的函数值的增长速度不一样，可知函数\(S_n\)单调递增，但有局限性，比如当幂函数的斜率比较大时，前面的有限项往往说不清；

思路3：作差法，\(S_n-S_{n-1}=\cfrac{n}{2^{n-1}}>0\)，则\(S_n\)单调递增，思维最严密；

二、典例剖析

例1【2018广东广州一模】已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(2a_na_{n+1}=a_n^2+1\)，设\(b_n=\cfrac{a_n-1}{a_n+1}\)，则数列\(\{b_n\}\)是【】

法1：由于\(2a_na_{n+1}=a_n^2+1\)，则可知\(a_{n+1}=\cfrac{a_n^2+1}{2a_n}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})\)，

则\(b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\cfrac{\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})-1}{\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})+1}=\cfrac{(a_n-1)^2}{(a_n+1)^2}=b_n^2\)，

又由于\(a_1=2\)，\(b_1=\cfrac{a_1-1}{a_1+1}=\cfrac{1}{3}\)，故\(b_2=b_1^2=(\cfrac{1}{3})^2\)，\(b_3=b_2^2=(\cfrac{1}{3})^4\)，\(b_4=b_3^2=(\cfrac{1}{3})^8\)，故数列\(\{b_n\}\)为递减数列。故选\(D\)。

法2：(待思考)，\(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})\)，故\(a_n>0\)，则\(a_{n+1}\ge \cfrac{1}{2}\cdot 2=1\)，

例2【2018广东东莞二模】已知等比数列\(\{a_n\}\)与等差数列\(\{b_n\}\)，\(a_1=b_1=1\)，\(a_1\neq a_2\)，\(a_1\)，\(a_2\)，\(b_3\)成等差数列，\(b_1\)，\(a_2\)，\(b_4\)成等比数列，

(1).求数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的通项公式；

分析：\(a_n=2^{n-1}\)，\(b_n=n\)，

(2).设\(S_n\)，\(T_n\)分别是数列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的前\(n\)项的和，若\(S_n+T_n>100\)，求\(n\)的最小值；

分析：\(S_n=2^n-1\)，\(T_n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)，则\(S_n+T_n=2^n-1+\cfrac{n(n+1)}{2}\)单调递增，

又\(S_6+T_6=84<100\)，\(S_7+T_7=155>100\)，故\(n_{min}=7\)。