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即 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}
是区间套,且其中每一个闭区间都含有 S S S 中无穷多个点.
由区间套定理,存在唯一的一点
ξ ∈ [ a n , b n ] , n = 1 , 2 , ⋯ \xi \in\left[a_{n}, b_{n}\right], n=1,2, \cdots ξ∈[an,bn],n=1,2,⋯. 于是由定理 7.1
的推论,对任给的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0, 存在 N > 0 N>0 N>0, 当 n > N n>N n>N 时有
[ a n , b n ] ⊂ U ( ξ ; ε ) \left[a_{n}, b_{n}\right] \subset U(\xi ; \varepsilon) [an,bn]⊂U(ξ;ε). 从而
U ( ξ ; ε ) U(\xi ; \varepsilon) U(ξ;ε) 内含有 S S S 中无穷多个点, 按定义 2 , ξ 2, \xi 2,ξ 为 S S S
的一个聚点.
证法二 设 S S S 是有界无限点集. 在 S S S 中取一列两两不同的点列
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}, 显然 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 是有界点列.
由致密性定理, { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 存在一个收敛的子列
{ x n 4 } \left\{x_{n_{4}}\right\} {
xn4}, 其极限设为 x 0 x_{0} x0. 那么对于任意正数
ε \varepsilon ε, 存在 K K K, 当 k > K k>K k>K 时, 有
x 0 − ε < x n k < x 0 + ε x_{0}-\varepsilon<x_{n_{k}}<x_{0}+\varepsilon x0−ε<xnk<x0+ε. 这就说明
( x 0 − ε , x 0 + ε ) \left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right) (x0−ε,x0+ε) 含有 S S S 中无限多
个点, 即 x 0 x_{0} x0 是 S S S 的一个聚点.
十分明显, 致密性定理是聚点定理的一种特殊情形. 这只需把有界数列
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 看成有界点集 S S S, 并把 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的无限多个”项”看成 S S S 中的无限多个”点”.
定义 3 设 S S S 为数轴上的点集, H H H 为开区间的集合 (即 H H H
的每一个元素都是形如 ( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β) 的开区间). 若 S S S
中任何一点都含在 H H H 中至少一个开区间内, 则称 H H H 为 S S S 的一个开覆盖,
或称 H H H 覆盖 S S S. 若 H H H 中开区间的个数是无限 (有限) 的, 则称 H H H 为
S S S 的一个无限开覆盖 (有限开覆盖).
在具体问题中, 一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定. 例如, 若函数
f f f在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 上连续, 则给定 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0, 对每一点 x ∈ ( a , b ) x \in(a, b) x∈(a,b),
都可确定正数 δ x \delta_{x} δx (它依赖于 ε \varepsilon ε 与 x x x ),使得当
x ′ ∈ U ( x ; δ x ) x^{\prime} \in U\left(x ; \delta_{x}\right) x′∈U(x;δx) 时, 有
∣ f ( x ′ ) − f ( x ) ∣ < ε \left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right|<\varepsilon ∣f(x′)−f(x)∣<ε.
这样就得到一个开区间集
H = { ( x − δ x , x + δ x ) ∣ x ∈ ( a , b ) } , H=\left\{\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \mid x \in(a, b)\right\}, H={
(x−δx,x+δx)∣x∈(a,b)},
它是区间 ( a , b ) (a, b) (a,b) 的一个无限开覆盖.
定理 7.3 (海涅一博雷尔 (Heine-Borel) 有限覆盖定理) 设 H H H 为闭区间
[ a , b ] [a, b] [a,b] 的一个(无限) 开覆盖, 则从 H H H 中可选出有限个开区间来覆盖
[ a , b ] [a, b] [a,b].
证 用反证法 假设定理的结论不成立, 即不能用 H H H 中有限个开区间来覆盖
[ a , b ] [a, b] [a,b].
将 [ a , b ] [a, b] [a,b] 等分为两个子区间, 则其中至少有一个子区间不能用 H H H
中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为 [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1}, b_{1}\right] [a1,b1], 则
[ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ] \left[a_{1}, b_{1}\right] \subset[a, b] [a1,b1]⊂[a,b], 且
b 1 − a 1 = 1 2 ( b − a ) b_{1}-a_{1}=\frac{1}{2}(b-a) b1−a1=21(b−a).
再将 [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1}, b_{1}\right] [a1,b1] 等分为两个子区间, 同样,
其中至少有一个子区间不能用 H H H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为
[ a 2 , b 2 ] \left[a_{2}, b_{2}\right] [a2,b2], 则
[ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] \left[a_{2}, b_{2}\right] \subset\left[a_{1}, b_{1}\right] [a2,b2]⊂[a1,b1], 且
b 2 − a 2 = 1 2 2 ( b − a ) b_{2}-a_{2}=\frac{1}{2^{2}}(b-a) b2−a2=221(b−a).
重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个闭区间列
{ [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}, 它满足
[ a n , b n ] ⊃ [ a n + 1 , b n + 1 ] , n = 1 , 2 , ⋯ , b n − a n = 1 2 n ( b − a ) → 0 ( n → ∞ ) , \begin{array}{l} {\left[a_{n}, b_{n}\right] \supset\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right], n=1,2, \cdots,} \\ b_{n}-a_{n}=\frac{1}{2^{n}}(b-a) \rightarrow 0(n \rightarrow \infty), \end{array} [an,bn]⊃[an+1,bn+1],n=1,2,⋯,bn−an=2n1(b−a)→0(n→∞),
即 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]} 是区间套,
且其中每一个闭区间都不能用 H H H 中有限个开区间来覆盖.
由区间套定理, 存在唯一的一点
ξ ∈ [ a n , b n ] , n = 1 , 2 , ⋯ \xi \in\left[a_{n}, b_{n}\right], n=1,2, \cdots ξ∈[an,bn],n=1,2,⋯. 由于 H H H 是 [ a , b ] [a, b] [a,b]
的一个开覆盖, 故存在开区间 ( α , β ) ∈ H (\alpha, \beta) \in H (α,β)∈H, 使
ξ ∈ ( α , β ) \xi \in(\alpha, \beta) ξ∈(α,β).于是, 由定理 7.1 推论, 当 n n n 充分大时, 有
[ a n , b n ] ⊂ ( α , β ) . \left[a_{n}, b_{n}\right] \subset(\alpha, \beta) . [an,bn]⊂(α,β).
这表明 [ a n , b n ] \left[a_{n}, b_{n}\right] [an,bn] 只需用 H H H 中的一个开区间
( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β) 就能覆盖, 与挑选 [ a n , b n ] \left[a_{n}, b_{n}\right] [an,bn] 时的假设
“不能用 H H H 中有限个开区间来覆盖” 相矛盾. 从而证得必存在属于 H H H
的有限个开区间能復盖 [ a , b ] [a, b] [a,b].
注 定理 7.3 的结论只对闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]
成立,而对开区间则不一定成立.例如,开区间集合
{ ( 1 n + 1 , 1 ) } ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \left\{\left(\frac{1}{n+1}, 1\right)\right\}(n=1,2, \cdots) {
(n+11,1)}(n=1,2,⋯)
构成了开区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 的一个开覆盖,但不能从中选出有限个开区间盖住
( 0 , 1 ) (0,1) (0,1).
例 2 用有限覆盖定理证明: 闭区间上连续函数的有界性定理.
证 设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续. 根据连续函数的局部有界性定理,
对于任意的III 第七章 实数的完备性
x 0 ∈ [ a , b ] x_{0} \in[a, b] x0∈[a,b], 存在正数 M x 0 M_{x_{0}} Mx0 以及正数 δ x 0 \delta_{x_{0}} δx0, 当
x ∈ ( x 0 − δ x 0 , x 0 + δ x 0 ) ∩ [ a , b ] x \in\left(x_{0}-\delta_{x_{0}}, x_{0}+\delta_{x_{0}}\right) \cap[a, b] x∈(x0−δx0,x0+δx0)∩[a,b]
时有 ∣ f ( x ) ∣ ⩽ |f(x)| \leqslant ∣f(x)∣⩽ M x 0 M_{x_{0}} Mx0. 作开区间集
H = { ( x − δ x , x + δ x ) ∣ ∣ f ( x ) ∣ ⩽ M x , x ∈ [ a , b ] , x ∈ ( x − δ x , x + δ x ) ∩ [ a , b ] } , H=\left\{\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right)|| f(x) \mid \leqslant M_{x}, x \in[a, b], x \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \cap[a, b]\right\}, H={
(x−δx,x+δx)∣∣f(x)∣⩽Mx,x∈[a,b],x∈(x−δx,x+δx)∩[a,b]},
显然 H H H 覆盖了区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]. 根据有限覆盖定理, 存在 H H H 中有限个开区间
( x 1 − δ x 1 , x 1 + δ x 1 ) , ( x 2 − δ x 2 , x 2 + δ x 2 ) , ⋯ , ( x n − δ x n , x n + δ x n ) , \left(x_{1}-\delta_{x_{1}}, x_{1}+\delta_{x_{1}}\right),\left(x_{2}-\delta_{x_{2}}, x_{2}+\delta_{x_{2}}\right), \cdots,\left(x_{n}-\delta_{x_{n}}, x_{n}+\delta_{x_{n}}\right), (x1−δx1,x1+δx1),(x2−δx2,x2+δx2),⋯,(xn−δxn,xn+δxn),
它们也覆盖了 [ a , b ] [a, b] [a,b]. 令
M = max { M x 1 , M x 2 , ⋯ , M x n } M=\max \left\{M_{x_{1}}, M_{x_{2}}, \cdots, M_{x_{n}}\right\} M=max{
Mx1,Mx2,⋯,Mxn},
那么对于任意的 x ∈ [ a , b ] x \in[a, b] x∈[a,b], 存在 k k k, 1 ⩽ k ⩽ n 1 \leqslant k \leqslant n 1⩽k⩽n,
使得 x ∈ ( x k − δ x k , x k + δ x k ) x \in\left(x_{k}-\delta_{x_{k}}, x_{k}+\delta_{x_{k}}\right) x∈(xk−δxk,xk+δxk),
并且有 ∣ f ( x ) ∣ ⩽ M x k ⩽ M |f(x)| \leqslant M_{x_{k}} \leqslant M ∣f(x)∣⩽Mxk⩽M.
⋅ \cdot ⋅三、实数完备性基本定理之间的等价性
至此, 我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理, 即
1. 确界原理 (定理 1.1 );
2. 单调有界定理(定理 2.9);
3. 区间套定理（定理 7.1）;
4. 有限覆盖定理 (定理 7.3);
5. 聚点定理 (定理 7.2) 和致密性定理(定理 2.10);
6. 柯西收敛准则 (定理 2.11).
在本书中,我们首先证明了确界原理,由它证明了单调有界定理,再用单调有界定理导出区间套定理,最后用区间套定理分别证明余下的三个定理.
事实上,在实数系中这六个命题是相互等价的,即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题.
对此,我们可按下列顺序给予证明:
1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 5 ⇒ 6 ⇒ 1 . 1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 6 \Rightarrow 1 \text {. } 1⇒2⇒3⇒4⇒5⇒6⇒1.
其中 1 ⇒ 2 , 2 ⇒ 3 1 \Rightarrow 2,2 \Rightarrow 3 1⇒2,2⇒3 与 3 ⇒ 4 3 \Rightarrow 4 3⇒4 分别见定理
2.9 , 7.1 2.9,7.1 2.9,7.1 与 7.3 ; 4 ⇒ 5 7.3 ; 4 \Rightarrow 5 7.3;4⇒5 和 5 ⇒ 6 5 \Rightarrow 6 5⇒6
请读者作为练习自证 (见本节习题 8 和 9 ); 而 6 ⇒ 1 6 \Rightarrow 1 6⇒1 见下例.
例 3 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.
证 设 S S S 为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性,对任何正数 α \alpha α,
存在整数 k a k_{a} ka, 使得 λ α = k α α \lambda_{\alpha}=k_{\alpha} \alpha λα=kαα 为 S S S
的上界, 而 λ α − α = ( k α − 1 ) α \lambda_{\alpha}-\alpha=\left(k_{\alpha}-1\right) \alpha λα−α=(kα−1)α
不是 S S S 的上界, 即存在 α ′ ∈ S \alpha^{\prime} \in S α′∈S, 使得 α ′ > \alpha^{\prime}> α′>
( k α − 1 ) α \left(k_{\alpha}-1\right) \alpha (kα−1)α.
分别取 α = 1 n , n = 1 , 2 , ⋯ \alpha=\frac{1}{n}, n=1,2, \cdots α=n1,n=1,2,⋯, 则对每一个正整数 n n n,
存在相应的 λ n \lambda_{n} λn, 使得 λ n \lambda_{n} λn 为 S S S 的上界,而
λ n − 1 n \lambda_{n}-\frac{1}{n} λn−n1 不是 S S S 的上界,故存在 a ′ ∈ S a^{\prime} \in S a′∈S,
使得
a ′ > λ n − 1 n . a^{\prime}>\lambda_{n}-\frac{1}{n} . a′>λn−n1.
又对正整数 m , λ m m, \lambda_{m} m,λm 是 S S S 的上界, 故有
λ m ⩾ a ′ \lambda_{m} \geqslant a^{\prime} λm⩾a′. 结合 (6) 式得
λ n − λ m < 1 n \lambda_{n}-\lambda_{m}<\frac{1}{n} λn−λm<n1; 同理有 λ m − λ n < \lambda_{m}-\lambda_{n}< λm−λn<
1 m \frac{1}{m} m1. 从而得
∣ λ m − λ n ∣ < max { 1 m , 1 n } . \left|\lambda_{m}-\lambda_{n}\right|<\max \left\{\frac{1}{m}, \frac{1}{n}\right\} . ∣λm−λn∣<max{
m1,n1}.
于是, 对任给的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0, 存在 N > 0 N>0 N>0, 使得当 m , n > N m, n>N m,n>N 时, 有
∣ λ m − λ n ∣ < ε . \left|\lambda_{m}-\lambda_{n}\right|<\varepsilon . ∣λm−λn∣<ε.
由柯西收敛准则,数列 { λ n } \left\{\lambda_{n}\right\} {
λn} 收敛. 记
lim n → ∞ λ n = λ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=\lambda n→∞limλn=λ
现在证明 λ \lambda λ 就是 S S S 的上确界.首先,对任何 a ∈ S a \in S a∈S 和正整数 n n n,
有 a ⩽ λ n a \leqslant \lambda_{n} a⩽λn, 由 (7)式得 a ⩽ λ a \leqslant \lambda a⩽λ, 即
λ \lambda λ 是 S S S 的一个上界. 其次, 对任何 δ > 0 \delta>0 δ>0, 由
1 n → 0 ( n → ∞ ) \frac{1}{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) n1→0(n→∞) 及 (7) 式, 对充分大的
n n n, 同时有
1 n < δ 2 , λ n > λ − δ 2 . \frac{1}{n}<\frac{\delta}{2}, \lambda_{n}>\lambda-\frac{\delta}{2} . n1<2δ,λn>λ−2δ.
又因 λ n − 1 n \lambda_{n}-\frac{1}{n} λn−n1 不是 S S S 的上界, 故存在
a ′ ∈ S a^{\prime} \in S a′∈S, 使得 a ′ > λ n − 1 n a^{\prime}>\lambda_{n}-\frac{1}{n} a′>λn−n1.
结合上式得
a ′ > λ − δ 2 − δ 2 = λ − δ . a^{\prime}>\lambda-\frac{\delta}{2}-\frac{\delta}{2}=\lambda-\delta \text {. } a′>λ−2δ−2δ=λ−δ.
这说明 λ \lambda λ 为 S S S 的上确界.
同理可证:若 S S S 为非空有下界数集,则必存在下确界.
题 7.1
1. 证明数集 { ( − 1 ) n + 1 n } \left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n}\right\} {
(−1)n+n1} 有且只有两个聚点
ξ 1 = − 1 \xi_{1}=-1 ξ1=−1 和 ξ 2 = 1 \xi_{2}=1 ξ2=1.
2. 证明: 任何有限数集都没有聚点.
3. 设 { ( a n , b n ) } \left\{\left(a_{n}, b_{n}\right)\right\} {
(an,bn)} 是一个严格开区间套,
即满足
a 1 < a 2 < ⋯ < a n < b n < ⋯ < b 2 < b 1 , a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}<b_{n}<\cdots<b_{2}<b_{1}, a1<a2<⋯<an<bn<⋯<b2<b1,
且 lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0 n→∞lim(bn−an)=0.
证明: 存在唯一的一点 ξ \xi ξ, 使得
a n < ξ < b n , n = 1 , 2 , ⋯ . a_{n}<\xi<b_{n}, n=1,2, \cdots \text {. } an<ξ<bn,n=1,2,⋯.
4. 试举例说明: 在有理数集上,
确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.
5. 设
H = { ( 1 n + 2 , 1 n ) ∣ n = 1 , 2 , ⋯ } H=\left\{\left.\left(\frac{1}{n+2}, \frac{1}{n}\right) \right\rvert\, n=1,2, \cdots\right\} H={
(n+21,n1)
n=1,2,⋯}.
问
(1) H H H 能否覆盖 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) ?
(2) 能否从 H H H 中选出有限个开区间覆盖 (i)
( 0 , 1 2 ) \left(0, \frac{1}{2}\right) (0,21), (ii) ( 1 100 , 1 ) \left(\frac{1}{100}, 1\right) (1001,1) ?
6. 证明: 闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的全体聚点的集合是 [ a , b ] [a, b] [a,b] 本身.
7. 设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 为单调数列. 证明: 若
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 存在聚点, 则必是唯一的, 且为
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的确界.
8. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.
9. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
10. 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.
11. 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.
§ 2 上极限和下极限
定义 1 若数 a a a 的任一邻域含有数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的无限多个项, 则称 a a a 为数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的一个聚点(1).
例如, 数列 { ( − 1 ) n n n + 1 } \left\{(-1)^{n} \frac{n}{n+1}\right\} {
(−1)nn+1n} 有聚点 -1 与 1 ; 数列
{ sin n π 4 } \left\{\sin \frac{n \pi}{4}\right\} {
sin4nπ} 有
− 1 , − 2 2 , 0 , 2 2 -1,-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} −1,−22,0,22 和 1 五个聚点; 数列
{ 1 n } \left\{\frac{1}{n}\right\} {
n1} 只有一个聚点 0 ; 常数列
{ 1 , 1 , ⋯ , 1 , ⋯ } \{1,1, \cdots, 1, \cdots\} {
1,1,⋯,1,⋯} 只有一个聚点 1.
注 点列(或数列) 的聚点定义与上一节中关于点集(或数集)
的聚点定义是有区别的. 当把点列看作点集时, 点列中对应于相同数值的项,
只能作为一个点来看待. 如上述点列 { sin n π 4 } \left\{\sin \frac{n \pi}{4}\right\} {
sin4nπ}
作为点集来看待时, 它仅含有五个点, 即
{ sin n π 4 } = { − 1 , − 2 2 , 0 , 2 2 , 1 } , \left\{\sin \frac{n \pi}{4}\right\}=\left\{-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right\}, {
sin4nπ}={
−1,−22,0,22,1},
按点集聚点的定义,这个有限集没有聚点.然而,我们在点列聚点的定义中只考虑项,只要在一点的任意小邻域内聚集了无穷多个项
(不论其数值是否相同), 该点就称为点列的聚点. 所以,
点列的聚点实际上就是其收玫子列的极限.
定理 7.4 有界点列 (数列) { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 至少有一个聚点,
且存在最大聚点与最小聚点.
证 关于 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 聚点存在性的证明, 完全类似于定理 7.2
的证明方法, 只需把那个证明中的”无限多个点”改为”无限多个项”即可.
至于最大聚点的存在性,只需在定理 7.2 的证明过程中,当每次把区间
[ a k − 1 , b k − 1 ] \left[a_{k-1}, b_{k-1}\right] [ak−1,bk−1]等分为两个子区间时, 若右边一个含有
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 中无穷多个项, 则取它为
[ a k , b k ] \left[a_{k}, b_{k}\right] [ak,bk], 否则取左边的子区间为
[ a k , b k ] \left[a_{k}, b_{k}\right] [ak,bk]. 这样的选取方法既保证了每次选出的
[ a k , b k ] \left[a_{k}, b_{k}\right] [ak,bk] 都含有 { x n ∣ \left\{x_{n} \mid\right. {
xn∣
中无限多个项, 同时在 [ a k , b k ] \left[a_{k}, b_{k}\right] [ak,bk] 的右边却至多只有
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的有限个项, 于是由区间套
{ [ a k , b k ] } \left\{\left[a_{k}, b_{k}\right]\right\} {
[ak,bk]} 所确定的点列
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的聚点 ξ \xi ξ 必是 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
的最大聚点. 因若不然, 设另有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的聚点 ζ > ξ \zeta>\xi ζ>ξ,
则令 δ = 1 3 ( ζ − ξ ) > 0 \delta=\frac{1}{3}(\zeta-\xi)>0 δ=31(ζ−ξ)>0, 在 U ( ζ ; δ ) U(\zeta ; \delta) U(ζ;δ) 内含有
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 中无限多个项. 但当 n n n 充分大时,
U ( ζ , δ ) U(\zeta, \delta) U(ζ,δ) 将完全落在 [ a n , b n ] \left[a_{n}, b_{n}\right] [an,bn] 的右边,
这与区间列 { [ a k , b k ] } \left\{\left[a_{k}, b_{k}\right]\right\} {
[ak,bk]}
的上述选取方法相矛盾. 所以 ξ \xi ξ 必为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的最大聚点.
类似地,只要把每次优先挑选右边一个子区间改为优先挑选左边一个,就能证得最小聚点的存在性.
定义 2 有界数列 (点列) { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的最大聚点 A ˉ \bar{A} Aˉ
与最小聚点 A ‾ \underline{A} A 分别称为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
的上极限与下极限, 记作
(1) 本节中同前面一样, 不区分实数与数轴上的点,
因此点列的聚点等同于数列的聚点. 数列或点列的聚点也称为极限点.
A ˉ = lim n → ∞ x n , A ‾ = lim n → ∞ lim x n . \bar{A}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}, \quad \underline{A}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}^{\lim } x_{n} . Aˉ=n→∞limxn,A=n→∞limlimxn.
由定理 7.4 立刻可得: 任何有界数列必存在上、下极限.
例 1
lim n → ∞ ( − 1 ) n n n + 1 = 1 , lim n → ∞ ( − 1 ) n n n + 1 = − 1 ; lim n → ∞ sin n π 4 = 1 , lim n → ∞ sin n π 4 = − 1 ; lim n → ∞ 1 n = lim n → ∞ lim 1 n = 0. \begin{array}{c} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+1}=1, \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+1}=-1 ; \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin \frac{n \pi}{4}=1, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin \frac{n \pi}{4}=-1 ; \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}^{\lim } \frac{1}{n}=0 . \end{array} n→∞lim(−1)nn+1n=1,n→∞lim(−1)nn+1n=−1;n→∞limsin4nπ=1,n→∞limsin4nπ=−1;n→∞limn1=n→∞limlimn1=0.
定理 7.5 对任何有界数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}, 有
lim n → ∞ x n ⩽ lim ‾ n → ∞ x n . \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \leqslant \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_{n} . n→∞limxn⩽limn→∞xn.
定理 7.6 lim n → ∞ x n = A 7.6 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A 7.6n→∞limxn=A 的充要条件是
lim n → ∞ x n = lim n → ∞ x n = A \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A n→∞limxn=n→∞limxn=A.
以上两个定理的证明由定理 7.4 与定义 2 立即可得.
定理 7.7 设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 为有界数列.
(1) A ˉ \bar{A} Aˉ 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 上极限的充要条件是: 任给
ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,
(i) 存在 N > 0 N>0 N>0, 使得当 n > N n>N n>N 时, 有 x n < A ˉ + ε x_{n}<\bar{A}+\varepsilon xn<Aˉ+ε;
(ii) 存在子列
{ x n t } , x n 4 > A ˉ − ε , k = 1 , 2 , ⋯ \left\{x_{n_{t}}\right\}, x_{n_{4}}>\bar{A}-\varepsilon, k=1,2, \cdots {
xnt},xn4>Aˉ−ε,k=1,2,⋯.
(2) A A A 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 下极限的充要条件是: 任给
ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,
(i) 存在 N > 0 N>0 N>0, 使得当 n > N n>N n>N 时, 有 x n > A − ε x_{n}>A-\varepsilon xn>A−ε;
(ii) 存在子列
{ x n k } , x n k < A ‾ + ε , k = 1 , 2 , ⋯ \left\{x_{n_{k}}\right\}, x_{n_{k}}<\underline{A}+\varepsilon, k=1,2, \cdots {
xnk},xnk<A+ε,k=1,2,⋯.
证 (1) 必要性 因 A ˉ \bar{A} Aˉ 是 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的聚点, 故对任给的
ε > 0 , U ( A ˉ ; ε ) \varepsilon>0, U(\bar{A} ; \varepsilon) ε>0,U(Aˉ;ε) 含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中无穷多项, 设为 { x n k } \left\{x_{n_{k}}\right\} {
xnk}, 则有
x n k > A ˉ − ε , k = 1 , 2 , ⋯ x_{n_{k}}>\bar{A}-\varepsilon, k=1,2, \cdots xnk>Aˉ−ε,k=1,2,⋯.
又因 A ˉ \bar{A} Aˉ 是 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的最大聚点, 故在
A ˉ + ε \bar{A}+\varepsilon Aˉ+ε 的右边至多只有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的有限个项,
设此有限项的最大下标为 N N N, 则当 n > N n>N n>N 时, 有
x n < A ˉ + ε x_{n}<\bar{A}+\varepsilon xn<Aˉ+ε.
充分性 任给 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0, 由条件 (i) 和 (ii) 易见,
U ( A ˉ ; ε ) U(\bar{A} ; \varepsilon) U(Aˉ;ε) 含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 中无穷多个项, 故
A ˉ \bar{A} Aˉ是 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的一个聚点.
又设 α > A ˉ \alpha>\bar{A} α>Aˉ. 记 ε = 1 2 ( α − A ˉ ) \varepsilon=\frac{1}{2}(\alpha-\bar{A}) ε=21(α−Aˉ),
则由条件 (i) 易见 U ( α ; ε ) U(\alpha ; \varepsilon) U(α;ε) 内至多只有
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 中有限个项,故 α \alpha α 不是
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 的聚点. 所以 A ˉ \bar{A} Aˉ 是 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
的最大聚点.
(2) 类似地证明.
定理 7.7 的另一种形式如下:
定理 7.7’ 设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 为有界数列.
(1) A ˉ \bar{A} Aˉ 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 上极限的充要条件是: 对任何
α > A ˉ , { x n } \alpha>\bar{A},\left\{x_{n}\right\} α>Aˉ,{
xn} 中大于 α \alpha α
的项至多有限个;对任何 β < A ˉ , { x n } \beta<\bar{A},\left\{x_{n}\right\} β<Aˉ,{
xn} 中大于
β \beta β 的项有无限多个.
(2) A A A 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 下极限的充要条件是: 对任何
β < A , { x n } \beta<A,\left\{x_{n}\right\} β<A,{
xn} 中小于 β \beta β 的项至多有限个;
对任何 α > A ‾ , { x n ∣ \alpha>\underline{A},\left\{x_{n} \mid\right. α>A,{
xn∣ 中小于 α \alpha α
的项有无限多个.
定理 7.8 (上、下极限的保不等式性) 设有界数列
∣ a n ∣ , ∣ b n ∣ \left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right| ∣an∣,∣bn∣ 满足: 存在 N 0 > 0 N_{0}>0 N0>0, 当
n > N 0 n>N_{0} n>N0 时, 有 a n ⩽ b n a_{n} \leqslant b_{n} an⩽bn, 则
特别地, 若 α , β \alpha, \beta α,β 为常数, 又存在 N 0 > 0 N_{0}>0 N0>0, 当 n > N 0 n>N_{0} n>N0 时, 有
α ⩽ a n ⩽ β \alpha \leqslant a_{n} \leqslant \beta α⩽an⩽β, 则
α ⩽ lim n → ∞ a n ⩽ lim ‾ n → ∞ a n ⩽ β . \alpha \leqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \leqslant \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty} a_{n} \leqslant \beta . α⩽n→∞liman⩽limn→∞an⩽β.
这个定理的证明留给读者.
例 2 设 { a n } , { b n } \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} {
an},{
bn} 为有界数列. 证明
lim n → ∞ ( a n + b n ) ⩽ lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n . \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} . n→∞lim(an+bn)⩽n→∞liman+n→∞limbn.
特别地, 若 lim n → ∞ a n \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} n→∞liman 存在, 则
lim n → ∞ ( a n + b n ) = lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n = lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n . \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} . n→∞lim(an+bn)=n→∞liman+n→∞limbn=n→∞liman+n→∞limbn.
证设
lim n → ∞ a n = A , lim n → ∞ b n = B \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=A, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=B n→∞liman=A,n→∞limbn=B.
由定理 7.7, 对任给的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0, 存在 N > 0 N>0 N>0, 当 n > N n>N n>N 时, 有
a n < A + ε 2 , b n < B + ε 2 ⇒ a n + b n < A + B + ε . a_{n}<A+\frac{\varepsilon}{2}, b_{n}<B+\frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow a_{n}+b_{n}<A+B+\varepsilon . an<A+2ε,bn<B+2ε⇒an+bn<A+B+ε.
再利用上极限的保不等式性 (定理 7.8 ) 得
lim n → ∞ ( a n + b n ) ⩽ A + B + ε . \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leqslant A+B+\varepsilon . n→∞lim(an+bn)⩽A+B+ε.
故由 ε \varepsilon ε 的任意性得
lim n → ∞ ( a n + b n ) ⩽ A + B \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leqslant A+B n→∞lim(an+bn)⩽A+B,
即 (1) 式成立.
若
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ a n = A \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=A n→∞liman=n→∞liman=A
(即极限存在), 由 (1) 式得
lim n → ∞ b n = lim n → ∞ [ ( a n + b n ) − a n ] ⩽ lim n → ∞ ( a n + b n ) + lim n → ∞ ( − a n ) = lim n → ∞ ( a n + b n ) − A . \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\left(a_{n}+b_{n}\right)-a_{n}\right] \leqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(-a_{n}\right) \\ & =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)-A . \end{aligned} n→∞limbn=n→∞lim[(an+bn)−an]⩽n→∞lim(an+bn)+n→∞lim(−an)=n→∞lim(an+bn)−A.
故
lim n → ∞ ( a n + b n ) ⩾ lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n , \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \geqslant \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}, n→∞lim(an+bn)⩾n→∞liman+n→∞limbn,
结合 (1) 式可知 (2) 式成立.
注 (1) 式有可能成立严格的不等式. 例如, 设
a n = ( − 1 ) n , b n = ( − 1 ) n + 1 a_{n}=(-1)^{n}, b_{n}=(-1)^{n+1} an=(−1)n,bn=(−1)n+1, 则易见 (1)式左边等于 0 , 右边等于 2
.
定理 7.9 设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 为有界数列.
(1) A ˉ \bar{A} Aˉ 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 上极限的充要条件是
A ˉ = lim n → ∞ sup k ⩾ n { x k } ; \bar{A}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{x_{k}\right\} ; Aˉ=n→∞limk⩾nsup{
xk};
(2) A A A 为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 下极限的充要条件是
A ‾ = lim n → ∞ inf k ⩾ n { x k } . \underline{A}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \inf _{k \geqslant n}\left\{x_{k}\right\} . A=n→∞limk⩾ninf{
xk}.
做过第二章 § 3 § 3 §3 习题 12 的读者, 对这个定理应该不会感到陌生,
并能自行写出其证明. 有些教科书上也用 (3)、(4) 分别作为有界数列
{ x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn} 上、下极限的定义.
若定义 1 中的 a a a 可允许是非正常点 + ∞ +\infty +∞ 或 − ∞ -\infty −∞, 则定理 7.4
可相应地扩充为: 任一
点列 { x n ∣ \left\{x_{n} \mid\right. {
xn∣ 至少有一个聚点,
且存在最大聚点与最小聚点.
不难证明: 无上 (下) 界点列的最大 (小) 聚点为 + ∞ ( − ∞ ) +\infty(-\infty) +∞(−∞). 于是,
无上 (下) 界点列有非正常上 (下) 极限 + ∞ ( − ∞ ) +\infty(-\infty) +∞(−∞). 例如，
lim n → ∞ [ ( − 1 ) n + 1 ] n = + ∞ , lim ‾ ‾ [ ( − 1 ) n + 1 ] n = 0 ; lim ‾ n → ∞ ( − 1 ) n n = + ∞ , lim n → ∞ ( − 1 ) n n = − ∞ . \begin{array}{c} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n}+1\right] n=+\infty, \quad \underline{\underline{\lim }}\left[(-1)^{n}+1\right] n=0 ; \\ \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} n=+\infty, \lim \limits_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n} n=-\infty . \end{array} n→∞lim[(−1)n+1]n=+∞,lim[(−1)n+1]n=0;limn→∞(−1)nn=+∞,n→∞lim(−1)nn=−∞.
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