数学基础 — 指数增长与指数衰变

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指数增长

指数增长（Exponential Growth）描述了某一量随着时间的增加以指数函数的形式增长。公式为：

$$y(t)=y_0\cdot e^{kt}$$

其中：

• $y(t)$ 表示时间 $t$ 时的数量；
• $y_0$ 表示初始数量；
• $k$ 表示增长率（常为正值）；
• $e$ 表示自然常数（约为 2.718）。

指数增长的特点是，随着时间的推移，数量增长得越来越快，曲线呈加速上升趋势。例如细菌的繁殖或复利增长等现象都可以用指数增长来描述。

指数衰变

指数衰变（Exponential Decay）描述了某一量随着时间的增加以指数函数的形式衰减。公式为：

$$y(t)=y_0\cdot e^{-kt}$$

其中：

• $y(t)$ 表示时间 $t$ 时的数量；
• $y_0$ 表示初始数量；
• $k$ 表示衰减率（常为正值）；
• $e$ 表示自然常数。

指数衰变的特点是，随着时间的推移，数量减少得越来越慢，曲线呈逐渐平缓的下降趋势。放射性衰变、电容器放电等现象通常用指数衰变模型来描述。

区别

• 方向：指数增长是随着时间增加而增加，指数衰变是随着时间增加而减少。
• 公式中的符号：指数增长公式中的指数为正值，而指数衰变公式中的指数为负值。
• 应用场景：增长模型常用于人口增长、投资回报等，而衰减模型常用于物理衰减、化学反应等。